Bonsoir à tous
voici un énoncé de problème de terminale qui vise à calculer de 3 manières différentes une probabilité, et selon lesdites 3 manières à parvenir à trois résultats différents !
On cherche à calculer la probabilité que la longueur d'une corde (d'un cercle de rayon R) soit inférieure à la longueur d'un triangle équilatéral inscrit dans le cercle...
c'est à dire que 0 < X < R * (racine de) 3
Méthode 1 :
Un point A est pris au hasard sur ce cercle, une corde est determinée par le choix au hasard d'un point M sur le cercle.
On s'aperçoit en traçant le triangle ABC inscrit dans le cercle que la probabilité pour que la corde soit inférieure à la longueur d'un des cotés est 2/3 (faites un dessin, c'est évident)
p = 2/3
Méthode 2 :
Choisissez un point L au hasard dans le disque de centre O et de rayon R. la perpendiculaire à (OL) passant par L coupe le cerle en E et F.
La longueur de cette corde est donc X.
Avec OE^2 = OL^2 + LE^2
(x/2)^2 = R^2 - OL ^2
or o<(x/2)^2<((R racine de(3))/2)^2
d'ou en continuant les calculs :
r/2 < OL < R
Avec la proba p=(aire couronne) / (aire disque)
on a p=3/4
Méthode 3 :
Choisissez une corde SR du cercle.
Parmi toutes les cordes parallèles à (SR), comment faut-il les choisir pour que leur longueur X vérifie 0 < X < R (racine de) 3 ?
En faisant OL ^2 + LR^2 = R^2
OL^2 + (X/2)^2 = R^2.
En développant, R> OL > R/2
D'ou p = 1/2
Etrange,non ? :P
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