Série entière Rayon de convergence et somme

[invitee4ec2710]

Bonjour,

Je débute dans les séries entières et il y'a des exo que je ne comprends pas très bien
Je dois calculer la somme de:

de série de n=0 à l'infini de n² * xⁿ

j'ai aussi rayon de convergence de série de n=0 à l'infini de

sin((n*pi)/3)^n * xⁿ

enfin cos(1/n) *xⁿ

pour celui la j'ai pensé à utiliser d'alembert pour commencer

cos(1/n+1)/cos(1/n) puis utiliser les équivalence locales
on a 1-cos(x) ~0~ a x²/2 donc en l'infini on a cos(1/x)~infini~ 1-x²/2 (en passant le 1 de l'autre côté)
enfin en développant la fraction + équivalent en +infi on a du x⁴/x⁴ = 1 donc R=[-1;1]

Je vous remercie pour votre aide
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[ericcc]

Pour la première, tu peux dériver deux fois la série x^n, et réarranger les termes

[invitee4ec2710]

f'(x)=n^3 * x^n-1
f''(x)=n^4 * x^n-2
f''(x)=x/2 * sum(n^4 *x^n)

J'avoue n'avoir pas trop d'idée pour la suite.. Je n'ai pas d'exemples dans mon cours, je sais juste qu'on peut dérivée et intégrer
sans changer le rayon de convergence

[ericcc]

non...la série géométrique x^n : 1+x+x²+......x^n

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee4ec2710]

petite question subsidiaire si je prends le rang en dessous

série de 0 à +infini de n*x^n que j'intégre --> n * ((x^n+1)/(n+1))
sum de 1 à +infini (n-1) * ((x^n) /n)
=sum(x^n) - sum(x^n /n)
= 1/(1-x) -exp(x) -1 somme géométrique de raison q=x et série connu x^n / n = exp(x) mais vu que je suis en sum de 1 à infini j'enléve 1 ( le premier terme )
= (1/ (1-x)) -exp(x) -1
je dérive = (-1 /(1-x)^2) -exp(x)

Est-ce bon ?

[ericcc]

Le développement de l'exponentielle est x^n/n!....pas x^n/n...

Essaye de trouver la somme de nx^n, en dérivant x^n, puis tu feras n²x^n

[invitee4ec2710]

nouvelle démonstration pour n*xⁿ:

j'intégre = Sum((n * xⁿ⁺¹)/(n+1))
= Sum(1-->+infini)( (n-1) *xⁿ ) /(n)
= Sum(xⁿ) -Sum(xⁿ/n)
= 1/(1-x) - Sum(xⁿ/n)
dérive = - 1 /(1-x)² - Sum( n * x^n-1)/(n) )
= - 1 /(1-x)² - Sum(0 à infini) (xⁿ)
= - 1 /(1-x)² - 1/(1-x)
après développement
= (-2 + x) / ( 1- 2x +x²)

Je crois que ça marche là

[ericcc]

Tu te compliques la vie en intégrant d'abord. Tu as Sn=Sum(x^n)=1/1-x, d'où Sum(nx^n-1)=[1/1-x]'=1/(1-x)² et en multipliant par x
Sn=x/(1-x)²...