Calcul Integrale

[inviteecc8dfb9]

Bonjour a tous, je bloque sur le calcul d'une intégrale. Il s'agit d'intégrer f(x) entre 0 et 10 avec f(x)=1/sqrt(1+p(x-(1/x))²) où l'on doit calculer cette integrale pour p=1 puis p=10.

J'avais desuite pensé a faire un changement de variable u=-p(x-(1/x)) pour avoir une fonction du type f(u)=1/sqrt(1-u²) et ainsi trouver une primitive usuelle (arc sin x).

Malheureusement je bloque pour trouver du/dx car je trouve du=-p(1+1/x²)dx et donc un du en fonction de x. Je n 'arrive pas a m'en sortir et je tourne en rond en essayant de trouver du sans x en fonction.

Merci par avance de m'apporter une aide quelconque.
Cordialement
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[breukin]

Réduisez d'abord sans changement de variable pour supprimer le .
Vous verrez alors que vous pouvez d'abord poser pour arriver à une forme plus simple, avec une racine d'un polynôme du second degré.

Il vaut mieux faire des changements de variables successifs mais très simples. Ils se combinent certes, mais il est très difficile de trouver a priori le résultat final de cette combinaison.

[inviteecc8dfb9]

Merci de me répondre.

Justement, c est faire disparaitre 1/x qui m'embete je n'y arrive pas alors que je sais que c'est simple. J'arrive pas a decomposer (x²-1)/x en plusieurs fractions meme en remarquant que (x²-1)/x = (x+1)(x-1)/x ca ne m'avance pas plus...

[breukin]

Pour faire disparaître 1/x, il suffit de multiplier par x.
Exemple :

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteecc8dfb9]

X-(1/x)= (x²-1)/x

Ici multiplier par x ne sert pas a grand a chose on se retrouverait avec (x^3-x)/x² ...

[breukin]

Si, si, ça va très bien, de multiplier en haut et en bas par !
Le seul but est d'avoir une expression sans pour y voir plus clair.

Et après, on voit le changement de variable évident , ce qui simplifier encore, en réduisant à la racine d'un polynôme du second degré en , lequel devra se mettre sous forme canonique, permettant encore un autre changement de variable.

[inviteecc8dfb9]

ah oui en effet je l'avais pas vu sous cet angle, ben je vais m'y pencher et voir si ca va . Merci !

[breukin]

Pour la vérification de vos calculs :

 Cliquez pour afficher

On note et
Alors :

Puis par changement de variable :

Puis par changement de variable :

Le tout sauf erreur.