Bonjour,
pourquoi ne peut on pas définir la dérivé d'une matrice carré par limX->X0 (f(X)-f(X0))/(X-X0)
en prenant une norme de matrice pour définir la limite?
X->X0 ssi N(X-X0)->0
Je ne voit nulle part cete définition apparaitre?
De même les séries entières sur les matrice sont à coefficients dans R ou C ne pourrait t'on pas les prendre avec des coefficients dans l'algebre des matrices?
Bonjour,
C'est normal que vous ne trouviez pas, cela n'existe pas. J'aimerais savoir comment vous définissez la division d'une matrice par un vecteur !
Regardez plutôt du côté de la différentielle d'une application linéaire, http://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rentielle pour commencer.
@+
Not only is it not right, it's not even wrong!
J'ai été un peu trop concis.
X0 une matrice donnée.
X parcours l'ensemble des matrices telles que X-X0 est inversible,
X-X0 est une matrice.
f une fonction de l'ensemble des matrices dans l'ensemble des matrices .
Pour tout X ont peut calculer (f(X)-f(X0)) /(X-X0) qui est une matrice.
Si cette quantité à une limite lorsque X->X0 pour une norme matricielle alors on a bien défini une dérivée!
Comme exemple X0=a b
c d
f X=x y -> 1 2 * x y
z t 0 1 z t
la dérivé sera la matrice 1 2
0 1
Bonjour,
C'est très mal écrit. A la rigueur, siEnvoyé par wince
est inversible, on peut écrire
Vous dites que c'est une dérivée.... nuance.
D'aute part, je n'arrive pas à comprendre votre formule, elle est trop mal écrite. Utilisez donc
Comme je vous l'ai dit, regardez les différentielles. Ce que vous définissez ressemble vaguement à la différentielle d'une application linéaire.
La question essentielle est : savez-vous ce qu'est la différentielle d'une application linéaire ?
@+
Not only is it not right, it's not even wrong!
Bonjour, ca n'aurait pas vraiment d'interet parce que c'est deja pris en compte par la théorie.
En effet si vous supposez par exemple que votre fonction f est differentiable, il faut deja remarquer qu'il y a deux définitions naturelles pour la dérivée matricielle.
f'(a)=lim h^{-1}(f(a+h)-f(a)) pour h vivant dans GLn, mais aussi f'(a)=lim (f(a+h)-f(a))h^{-1}.
Je traiterai le second cas, le premier se traite de manière analogue.
Si f est differentiable alors cette limite est égale à la limite quand h tend vers 0 de (df(a).h)h^{-1}, mainetnant prenons P une matrice inversible quelconque, alors la matrice tP est aussi inversible si t est un réel non nul, et donc (df(a).(tP))t^{-1}P^{-1} tend vers (df(a).P)P^{-1} et ce pour toute matrice inversible P, en particulier df(a).P=(df(a).1)P, donc df(a) est simplement une multiplication matricielle, par df(a).1. On s'en serait douté
Alors vous allez me dire, ben pour les fonctions complexes c'est exactement le meme phénomène et pourtant c'est tres riche. Oui, c'est vrai. Mais ici je ne vois pas si la théorie s'enrichit du fait de phénomène propres. J'en doute cela dit.
Quant aux series entieres on peut faire a peu pres ce qu'on veut, la question est de savoir qu'est ce que ca apporte et qu'est ce qui fonctionne encore.
Deja pour la notion de polynome sur un anneau non commutatif, c'est un peu problématique puisque l'evaluation n'est plus un morphisme d'algèbre (en general on impose que les indeterminées soient centrales, ce qui n'est pas le cas des elements en lesquels on va evaluer les polynomes en general, si on impose pas la centralité des indeterminées alors ca devient franchement compliqué puisqu'il faut differencier Xa et aX par exemple). De la à avoir un bon theoreme comme le lemme d'Abel qui fonde la theorie des series entieres sur C, je pense qu'il n'y a pas trop d'espoir.
Effectivement je crois que la notion est beaucoup moins riche que dans C
En tout les cas si on se réfère à l'analyse sur les quaternions (qui comme les nombres complexes ne sont qu'un sous espace d'un espace de matrice) http://www.zipcon.net/~swhite/docs/m.../analysis.html
il semble que les seules application "dérivables" soient du type p+qx ou p+xq selon que l'on dérive d'un coté ou de l'autre.
Par contre pour la série entière si l'on admet les produits dans tous les sens c'est l'ensemble des applications différentiables (sur les quaternions)!
Je vous remercie d'avoir pris le temps de me répondre
Vincent
