Blocage dans une demo sur les p-groupes

[invite0cfb2277]

Bonjour !

Je lis actuellement "Undergraduate algebra" de S. Lang, un prof me l'a conseillé pour rattraper mon retard en algèbre (je n'en ai pas fait beaucoup et en première année de master c'est embêtant ).
J'avance tranquillement quand je tombe sur une demo qui me pose problème :
Soit un groupe abelien fini d'ordre , et posons un nombre premier divisant .
On ecrit où est premier avec .
D’après un théorème précédant dans le livre on peut ecrire comme un produit direct : , où l'ordre de est premier avec .
C'est la que je bloque : comment peut on savoir ça de l'ordre de ?
Le livre ne détaille pas, donc je suppose que c'est évident et que c'est moi qui suis bouché. Cependant je vous assure que j'ai cherché tout seul, bah pas moyen !!!
Quelqu'un peut il m'aider ?

Gothmog
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[invite0cfb2277]

Veuillez m'excuser, j'ai oublié de préciser que est le sous groupe qui contient tous les éléments de dont la période est une puissance de .

[invitea0db811c]

Bonjour,

tout vient de ce résultat : soit p divisant le cardinal d'un groupe abélien G, alors il existe un élément x de ce groupe d'ordre p.

Ce résultat se démontre à l'aide d'une récurrence forte sur l'ordre du groupe abélien G.

dans le cas que tu mentionne, si p divise l'ordre de G', tu en déduis une contradiction avec la définition de G(p).

[invite0cfb2277]

Merci thepasboss ! La propriété dont tu parles n'est même pas évoquée dans le livre (même pas en exercice), pas cool de la part de Serge !

[A voir en vidéo sur Futura]