[Statistiques] Calcul de biais

[invitebf1e9ed8]

Bonjour,

j'ai un petit soucis avec un exercice de statistiques que je ne vois pas du tout comment résoudre. Je vous donne ici l'énoncé :

Un agriculteur possède un champ carré de longueur μ, dont il désire estimer la surface. Pour cela, il effectue 2 mesures indépendantes X1 et X2 de la longueur de son champs telles que ces mesures suivent une loi normale d’espérance μ et de variance σ² . Pour estimer la surface, plusieurs possibilités s’offrent à lui. Il peut faire la moyenne des mesures et l’élever au carré, ou bien il peut élever les mesures au carré et prendre leur moyenne. Une troisième solution revient à multiplier les 2 mesures. Les trois estimateurs correspondants sont les suivants :

estimateur(θ1) = (X1 + X2)² / 4

estimateur(θ2) = (X1² + X2²) / 2

estimateur(θ3) = X1 * X2

Calculez le biais de ces 3 estimateurs.


Je sais que le calcul du bais vaut E[estimateur(θ)] - θ mais je ne vois pas comment l'appliquer ici. Que vaut l’espérance de l'estimateur ? Et θ ?

Si quelqu'un sait me donner une piste pour résoudre cet exercice, je lui serais très reconnaissant

D'avance, merci !
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[gg0]

Bonjour.

Il suffit de calculer l'espérance de chacun de ces estimateurs. Tu connais les propriétés de l'espérance (linéarité, ..) et en particulier le lien entre l'espérance de X² et la variance de X, et l'espérance du produit de 2 variables indépendantes.
Attention, ici, X1 et X2 sont des variables aléatoires (des projets de mesures, pas des valeurs mesurées).

Cordialement.

[Dlzlogic]

Bonjour,

effectue 2 mesures indépendantes X1 et X2 de la longueur de son champs

Il a effectué 2 mesures de son champ carré. La valeur la plus probable (TCL) est la moyenne arithmétique. L'écart-type est la racine carré de la différence à la moyenne mise au carré divisé par (2-1)=1.
Moyenne = (x1+x2)/2
Ecart-type = (x1-x2)/2
En tout cas, c'est comme ça qu'on fait dans la vie professionnelle.

[gg0]

Toujours à côté de la plaque Dlzlogic !

A croire que tu ne lis pas les questions !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Oh si, j'ai lu la question.
J'avoue que je ne sais pas très bien ce qu'on peut appeler le biais.
Pour calculer la superficie, il faut prendre la moyenne des deux mesures. Ce sont d'ailleurs des mesures et non des projets de mesure. Bien-sûr on élève au carré la moyenne. Si on veut avoir l'écart-type sur l'aire, c'est deux fois l'écart-type de la mesure d'un côté multiplie par cette mesure.
Si tu peux m'expliquer ce qu'est le biais demandé, ce qu'on appelle estimation, par contre s'il te plait ne m'explique pas comment on traite les erreurs de mesure.

Pour être tout à fait franc, l'expression "biais de ces estimateurs" me laisse un peu perplexe. J'aimais bien savoir ce qu'on appelle un estimateur, un estimateur de quoi et surtout un biais d'estimateur.
On a 2 mesures d'une même chose, on peut en déduire une moyenne et un écart-type, rien d'autre.

[leon1789]

Ne pas tenir compte du contenu des messages de Dlzlogic, qui n'a pas les connaissances (et il se sait, tout le monde lui a dit, mais il ne peut s'empêcher d'intervenir, il faut lui pardonner...)

Encore un exemple :

Bonjour,
Il a effectué 2 mesures de son champ carré. La valeur la plus probable (TCL) est la moyenne arithmétique. L'écart-type est la racine carré de la différence à la moyenne mise au carré divisé par (2-1)=1.
Moyenne = (x1+x2)/2
Ecart-type = (x1-x2)/2

On remarquera que
d'une part, l'écart-type donné par Dlzlogic n'est malheureusement pas toujours positif (il manque une valeur absolue),
et d'autre part la formule |x1-x2|/2 ne correspond pas à la citation "L'écart-type est la racine carrée de la différence à la moyenne mise au carré divisée par (2-1)=1 " (qui aboutit, si on comprend bien, à ...).
Enfin, je précise pour dlzlogic que .

Le mieux pour que la discussion ne soit pas pourrie des son commencement, c'est d'arrêter dès maintenant ce genre d'intervention, Dlzlogic et moi.

[leon1789]

J'avoue que je ne sais pas très bien ce qu'on peut appeler le biais.(...)

raison de plus pour ne pas intervenir !

J'aimais bien savoir ce qu'on appelle un estimateur, un estimateur de quoi et surtout un biais d'estimateur.

je ne sais pas si c'est encore de la mauvaise foi, mais on est plusieurs (sur maths-forum) a avoir tenté de t'expliquer cela, sans y parvenir... Rien que la définition d'écart-type, c'est une montagne...
Arrêtons-là, merci !

[Dlzlogic]

Tu sais Léon, d'accord, bravo pour la valeur absolue, mais tu DEVRAIS savoir, vu le nombre de fois que je l'ai dit, que le diviseur, dans le calcul de l'écart-type est 1, c'est à dire (2-1).
J'ai bien compris que tu ne sais pas pourquoi, mais la moindre choses est de t'en souvenir.
Pour le reste, je crois qu'en matière de calcul d'erreur, c'est tout de même moi le mieux placé.

Par contre, cette expression du biais, là je voudrais bien savoir. Et "estimateur de biais" ?

[toothpick-charlie]

un estimateur c'est juste une variable aléatoire finalement. Pour bien faire il faut préciser la tribu et c'est la tribu engendrée par les observations (vues comme des variables aléatoires). Autrement dit c'est une fonction mesurable des données.

[leon1789]

Dlzlogic, visiblement, tu ne comprends rien de rien :
j'ai prouvé que ce que tu dis en français avec 2-1 est contraire à la formule que tu donnes. Bref, le peu que tu dis est mathématiquement faux, comme d'habitude...

De plus, ce que tu écris confirme ce que je dis concernant tes faibles connaissances et ta vue étroite.
Tu ne connais ni la définition de l'écart-type d'une série ( tiens cadeau : http://www.statcan.gc.ca/edu/power-p...214891-fra.htm )
ni celle d'un estimateur d'écart-type et de biais (tiens re-cadeau : http://fr.wikipedia.org/wiki/Estimateur_(statistique) )

Des références comme celles-ci, j'en ai déjà données. Tu remarqueras que, contrairement à toi, je donne des références que tout le monde peut lire. Mais je sais que tu ne les liras pas, comme d'habitude. C'est ton choix, mais ne dis pas que tu voudrais comprendre...

Maintenant, tu continues en toute conscience à troller cette discussion (comme bien d'autres)... C'est vraiment lamentable !

[Médiat]

Bonsoir,

Encore une fois je suis obligé d'intervenir : les disputes de bac à sable n'ont rien à faire ici, donc, merci à Dlzlogic de ne plus intervenir sur des sujet qu'il ne connaît pas (de son propre aveu), il évitera ainsi les critiques des autres intervenants.

Les ciseaux d'Anastasia sont affutés !

Médiat, pour la modération !

[Dlzlogic]

@ Charlie,
Je vais essayer d'être précis.
En matière de mesure, en l'occurrence une longueur, on mesure une même quantité un nombre de fois N.
Alors, la valeur la plus probable de cette quantité est la moyenne arithmétique.
L'erreur moyenne quadratique plus connue sous le nom d'écart type est égale à la racine carré de la somme des carrés des écarts des mesures avec la moyenne, divisée par N-1.
Si, pour quelle que raison que ce soit, les différences sont calculées par rapport à la valeur vraie de la quantité mesurée, et non la moyenne arithmétique, alors le diviseur dans le calcul de l'écart type est N.
Un bon moyen de le visualiser est de raisonner avec DEUX mesures comme dans le présent sujet.
Dans la littérature on parle de mesure biaisée ou non, de quoi ne plus rien comprendre.
Je sais bien que ceci est mal connu mais c'est la définition de l'écart type.
Le gros danger de refuser cela est qu'on en arrive assez vite à calculer la probabilité d'avoir telle probabilité, on ne sait pas pourquoi la formule de l'écart type prend des carrés, la justification de la méthode des moindres carrée devient très floue, l'écart résultant d'un certain nombre de mesures cumulatives (Ex 1000m. mesurées avec 20 portées de 50m qui ont une précision de 7mm, quel est la précision de la mesure des 1000m. ?) etc.
Dans le cas de cet exo, il y a 2 mesures, on peut en déduire une moyenne et un écart-type, mais rien d'autre.

Bonne soirée.

[gg0]

VA77,

as-tu pu répondre à ton problème ? Si tu es en difficulté je peux t'aider ...

[leon1789]

Est-ce qu'on peut donner une réponse partielle à VA77 (histoire de le motiver) ?
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seul l'estimateur X1*X2 est sans biais ;
le biais de (X1^2+X2^2) / 2 est deux fois plus grand que celui de (X1+X2)^2 / 4
ces deux biais dépendent uniquement de la variance
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[gg0]

OK.

par indépendance.

Donc le biais est
Nul si la moyenne est nulle ou égale à 1 (*)

Cordialement.

(*) ce résultat montre bien le caractère illogique de ce choix d'estimateur puisque le biais dépend du choix de l'unité de mesure des X_i !

[leon1789]

par indépendance.

je suis d'accord.

Donc le biais est

heu... la valeur visée par l'estimateur est la surface du carré :
Le biais est .

[gg0]

Ah, oui !

J'avais oublié le contexte du calcul !! J'avais dans la tête l'estimation de mu.

Désolé pour ce raté.