équation différentielle de second ordre

[invite1d793136]

Bonjour à tous

On se propose de résoudre ]0; +[ l'équation différentielle (E)
x^2 y"(x) + y(x)= x
1) déterminer une solution particulière yo "évidente" de (E).

1) y=x
2) On effectue le changement de variable t= lnx et y(x)= y(e^t)=z(t)
Montrer que l'équation (Eo) est transformée, via ce changement de variable en
(E'): z"(t)-z'(t)+z(t)=0
(on vérifiera qu'on a notamment z"(t)= xy'(x)+ x^2y"(x)))
or x^2= e^(2lnx)

e^(2lnx) y"(x)+ z(t)=0

z^(-1)(2t) z"(t)+z(t)=0

bon là déjà je bloque complètement
3) Résoudre E'

4) En déduire les solutions de (Eo) puis celles de (E)

lol merci d'avoir lu
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[invitef3414c56]

Bonjour,
Apparemment, vous mélangez les x et les t, ce qu'il ne faut pas faire.
On a , donc



Ensuite, trouver en fonction de z(t), puis remplacez x par dans votre équation de départ et concluez.

Cordialement.

[invite1d793136]

je trouve la meme chose à un détail près je trouve z"=y' e^(2t)+ e^(2t)y"(e^t)

[invitef3414c56]

Re-bonjour, quand vous dérivez , vous utilisez la dérivation d'un produit u(t)v(t) avec u(t)=\exp(t). Donc la dérivée de u(t) est et votre premier terme u^{\prime}(t)v(t) est .

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1d793136]

Ah d'accord, moi j'avais pensé à utiliser la formule (uv)'= u'v+uv'
u= e^t
u'=e^t
v=y'(e^t)
v'= e^t * y''(e^t)

d'où e^t* y'(e^t) + e^t* e^t*y'(e^t)= e^t y'(e^t)+ e^(2t)y''(e^t)

donc en gros faut utiliser une autre méthode parce qu'avec la dérivation en détaillant je ne retrouve pas ça.
Sinon tu veux bien me détailler tes calculs pour voir pourquoi je ne trouve pas la même chose

bien cordialement

[invitef3414c56]

Ben les calculs sont exactement ceux de votre dernier message, qui sont corrects. Quelle autre méthode pour dériver avez vous donc utilisée ??

[invite1d793136]

e^t y'(e^t)+ e^(2t)y''(e^t)
non je n'ai pas utilisé d'autre méthode
le truc est que je me demande si vous avez utilisé la même méthode que moi, comment vous êtes arrivé à trouver e^(t) y"(e^t) à la place du e^(2t)y''(e^t) que j'ai trouvé

[invitef3414c56]

Mais j'ai bien trouvé que


regardez mon premier message. C'est dans votre message qui suit mon premier message que le premier terme ne va pas, j'ai pensé que vous aviez fait une erreur de calcul dans le premier morceau de la formule de dérivation d'un produit, , d'où mon explication.

Cordialement. .

[invite1d793136]

ok je dois etre endormi.
donc on a z"-z'+z= e^t y'(e^t)+ e^(2t)y"(e^t)- e^t*y'(e^t)+ y(e^t)
= e^(2t)y"(e^t)+ y(e^t)


or t= lnx d'où x= e^t et e^(2t)= x^2
donc on retrouve bien l'équation de départ sans le second membre avec x^2y"(x)+ y(x)

après pour le 3) faut résoudre E'
l'équation caractéristique est r^2-r+1=0
(1)-4= -3
ouais là le delta est négatif je ne sais pas trop quoi faire. Je ne vais quand même pas faire avec les i...

[inviteaf1870ed]

Si tu connais la solution de l'équation r²+r+1=0 (racine cubique de l'unité), qui est classique, tu peux facilement résoudre ton équation caractéristique

[invite1d793136]

non c'est r^2-r+1 mais le truc c'est que le delta est négatif, et je ne sais pas quoi faire quand le delta est négatif

[inviteaf1870ed]

Tu es dans le supérieur, tu connais donc le nombre j, tel que j²+j+1=0, c'est une racine cubique de l'unité. Je te laisse trouver sa forme exacte dans C, cartésienne ou complexe.
A ton avis si j'écris k=-j, que vaut k²-k+1 ?

[invite1d793136]

J'étudie par correspondance, donc les cours que j'ai en maths sont sous forme de CDS.
je n'ai pas le j dans mon cours ni rien qui se réfère, mais j'ai les racines complexes.
admet les racines complexes 1/2-racine3 i/2 et 1/2+ racine3i/2. La solution générale est donc y = e−x(acosx + bsinx),
y= e^-(pi/3) (a cospi/3 + b sin -pi/3)
y= e^(pi/3) (a cospi/3 + bsinpi/3)

bon là faut trouver le a et le b ce qui devient plus compliqué