Suites

[inviteec33ac08]

Bonjour,

Voila on me demande de montrer que si (Un) est une suite d'entiers naturels,

alors (Un) bornée =>Il existe une suite extraite de (Un) constante.

Alors si on suppose (Un) bornée il existe a et b réels (pouvant même être des entiers naturels) a et b tel que pour tout n entier naturel a<=Un<=b


Après je ne vois pas comment continuer... si quelqu'un a une idée

Merci
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[Médiat]

Bonjour,

C'est le principe des tiroirs, pour votre a, je vous suggère 0.

[inviteec33ac08]

Oui en effet étant donné que (Un) est une suite d'entiers naturels je peux donc en tirer pour tout n, 0<= Un<=b merci pour le principe des tiroirs si je comprends bien enfin je ne sais pas si on peut le dire de la sorte la suite (Un) est tel que Un: N->N et (Un) bornée donc non injective puisque l'ensemble d'arrivée étant plus petit que l'ensemble de départ mais que puis je tirer de ceci ? En fait moi je pensais plutôt à un théorème de Bolzano Weierstrass mais je ne pourrais rien dire sur sa monotonie.

[Médiat]

Raisonner par l'absurde, si tous les éléments de 0 à N avait une image réciproque finie, que pourriez-vous en déduire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec33ac08]

Merci,

Dois je considérer les cas ou le cardinal de l'image réciproque est plus ou moins grand que N+1 ?