Problème sur les actions de groupes

[inviteec33ac08]

Bonjour à tous,

J'ai un problème sur un exercice sur le quel j'ai du mal à appliquer mon cours. Voila on considère un groupe G fini d'ordre n, g un élément de G d'ordre k et f:G->G l'application de translation à gauche par g définie par f_g (a)=g.a

Dans un premier temps, on considère a un élément de G et O_a = {g^n.a |n est un entier naturel} l'orbite de a par f_g.

Je dois montrer que le cardinal de cette orbite est k.

Alors ce que je sais c'est que le cardinal de cette orbite est égal au cardinal de G divisé par le cardinal du stabilisateur de a. Mais je n'arrive pas à calculer le stabilisateur de a, pour celui de G c'est n donc je pense montrer que le cardinal du stabilisateur de a vaut n/k. Mais je ne vois pas comment procéder.

Merci de votre aide
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[gg0]

Bonjour.

g un élément de G d'ordre k

C'est moi qui souligne.

Cordialement.

[inviteec33ac08]

Sa me parait aussi évident, étant donné pour n=k+1 on retombera sur g.a mais je ne sais pas très bien comment le rédiger proprement.

[invite9ac74dc1]

Bonjour,

Voici ma solution:


Il existe des entiers q et r uniques tels que : n=k.q+r ( -1<r<k)

On a donc g^n.a=(g^k)^q.g^r.a= e.g^r.a=g^r.a (ou e est l'élement neutre de G).

Donc O_a={g^r.a/ -1<r<k }.

Les éléments de O_a sont 2 à 2 distincts :

Soient r',r appartenant à {0,...,k-1}/ g^r'.a=g^r.a .On a alors: g^r'=g^r d'ou: g^(r'-r)=g^(r-r')=e
Puisque |r'-r|<k,par définition de k,on en déduit: r'=r .

Donc ,par contraposée: r'#r => g^r'.a#g^r.a.
Ainsi, O_a est un ensemble fini et on a: Card(O_a)=k .

A+.

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

Voici ma solution:

Au lieu de vous précipiter, vous auriez du passer un peu plus de temps à lire la charte du forum. On ne fait pas les exercices et problèmes à la place des autres. On leur donne des indications seulement.

Maintenant, jules345 a perdu son temps.

@+

[invite9ac74dc1]

Je suis désolé !