Bonsoir,
Si j'écris la série de Fourier de f, et je veut calculer la série de Fourier de f', il faut juste que f soit continue (par là, j'entends, pas seulement par morceaux) et je peut dire que f' est la série des dérivées, non? Si c'est le cas, je ne comprends pas trop pourquoi. Il me semblait que de manière générale, pour commuter série et dérivation il fallait montrer que la série était absolument convergente, non?
Merci d'éclairer ma lanterne
Bonjour.
Il faudrait quand même que f soit dérivable et que sa dérivée soit égale à sa série de Fourier au moins presque partout, non ?
En fait, ces questions sont délicates (en sont sortis au dix-neuvième siècle de très nombreuses découvertes et toute la théorie cantorienne des ensembles).
Cordialement.
NB : Pour les détails, voir un cours sur les séries de Fourier. Je ne suis pas spécialiste du domaine.
Bonjour,Envoyé par gg0
Oui, bien sur, je supposais qu'on avait la série de Fourier de f et donc la condition nécessaire (f est C1[a,b] par morceaux (il me semble que c'était ça)).
Mais après, si f est en plus continue (pas seulement par morceaux), on peut commuter série et dérivation?
Si f est seulement C1 par morceaux, la série de Fourier de la dérivée n'est pas obligatoirement convergente vers la dérivée (qui n'est pas C1 par morceaux).
Mais vois un cours ...
Les conditions suffisantes pour pouvoir dériver sous le signe somme sont:
et
en notant fpro la régularisée de f (càd en la remplaçant par sa "moyenne" aux discontinuités) "périodisée". Et encore, on a qu'une convergence simple... La dernière hypothèse est cruciale, un bête exemple ne la vérifiant pas est f(x)=x/2 sur [-pi; pi] où on a:
mais
Dernière modification par Bruno ; 13/01/2013 à 01h37.
