[FFT] Dérivation dans l'espace de Fourier

[invite027c07f8]

Bonjour

Voici la derivée d'une fonction dans l'espace de fourier

F ( dF(y)/dy ) = ik * F(k)

Que reprèsente le k ? Quelle est sa valeur numérique ?

Quel est l'interet de dériver dans l'espace de fourier ?

Merci pour vos réponses
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[invite6f25a1fe]

Ici, on ne dérive pas dans l'espace de Fourier, mais on regarde qu'elle est la transformée de Fourier d'une dérivée, ce n'est pas pareil.

Tu remarqueras que c'est la même chose avec la transformée de Laplace (où on obtient L(f')=p.L(f) ) mais avec

Donc pour moi ce k représente la pulsation de la transformée de Fourier

[KerLannais]

Salut,

Comme tu utilise la même notation pour la transformée de Fourier et ta fonction ton message est difficilement compréhensible. Soit une fonction suffisamment régulière (il suffit que ce soit une distribution tempérée), on pose:

alors on a:

L'intérêt de passer dans le domaine Fourier c'est que l'opération de dérivation est remplacée par l'opération de multiplication par et calculer une multiplication c'est BEAUCOUP PLUS SIMPLE que de calculer une dérivation. Les équations différentielles sont transformées en de simples équations ordinaires. Par exemple, si tu cherche solution de

avec une fonction, si tu considère la transformée de Fourier de et la transformée de Fourier de alors l'équation devient

ce qui se résout de façon élémentaire:

il suffit de refaire une transformée de Fourier inverse pour avoir la solution de l'équa diff.

[invite6f25a1fe]

Qu'elle est alors la différence entre une résolution d'une équation différentielle avec la transformée de Laplace et celle de Fourier ?

Pour moi, Fourier correspond juste à une restriction de Laplace où on ne prend que les imaginaires pures pour "p".
Est-ce qu'il existe d'autres "dérivées" de Laplace où on ne prend que des valeurs particulières de "p". Par exemple, est-ce utile, ou à quoi pourrait bien servir, une transformée où on ne prendrait que les "p" réels ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[KerLannais]

Re

Oui c'est ça, des fois on parle de transformée de Laplace quand p est seulement réel et de transformée de Fourier-Laplace dans le cas général. La transformée de Laplace est donc plus générale et donc on peut faire tout avec. La transformée de Fourier seule est pratique pour décrire l'espace des phases qui a une interprétation physique.

[invite027c07f8]

Salut,

Comme tu utilise la même notation pour la transformée de Fourier et ta fonction ton message est difficilement compréhensible. Soit une fonction suffisamment régulière (il suffit que ce soit une distribution tempérée), on pose:

alors on a:

L'intérêt de passer dans le domaine Fourier c'est que l'opération de dérivation est remplacée par l'opération de multiplication par et calculer une multiplication c'est BEAUCOUP PLUS SIMPLE que de calculer une dérivation. Les équations différentielles sont transformées en de simples équations ordinaires. Par exemple, si tu cherche solution de

avec une fonction, si tu considère la transformée de Fourier de et la transformée de Fourier de alors l'équation devient

ce qui se résout de façon élémentaire:

il suffit de refaire une transformée de Fourier inverse pour avoir la solution de l'équa diff.

merci beaucoup
Mais la méthode des différences finies, c'est seulement une division !?
Merci beaucoup pour ton explication

[KerLannais]

Re

La méthode des différences finies c'est une division ET UN PASSAGE A LA LIMITE. La transformée de Fourier permet d'avoir une expression théorique exacte de la solution sous la forme d'une certaine intégrale en général qui permet de montrer des résultats théoriques sur la solution ce qui est absolument impossible où alors complètement hardcore avec des différences finies. De plus, la méthode de Fourier s'adapte bien pour des équations aux dérivées partielles (fonctions à plusieurs variables) ce qui est très souvent le cas quand on veut traiter des problèmes physiques assez réalistes. La méthode des différences finis se généralise en la méthode des volumes finis, ou bien la méthode des éléments finis mais encore une fois ça ne donne pas d'expression théorique exacte exploitable. Enfin, des méthodes de type Fourier peuvent se révéler bcp plus puissantes en temps de calcul pour une précision donnée que la méthode des différences finies dans certains problèmes.