trajets d'une particule
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trajets d'une particule



  1. #1
    kaderben

    trajets d'une particule


    ------

    Bonjour
    Voici un exo dont j’ai essayé de faire les deux premières questions et la troisième sera pour plus tard.

    Nom : Particule.jpg
Affichages : 113
Taille : 138,1 Ko

    1°) Pour chaque déplacement il y a 4 possibilités (i,j,-i,-j) donc d’après le principe multiplicatif, le nombre total de trajets est :4*4*4*4 = 256 trajest possibles
    2°)
    a) Vect(OA) = 2i + 2j, 2 déplacements selon i et 2 déplacements selon j
    Je les ai comptés et même j’ai fait un arbre et je trouve 6 trajets
    Je me demande s’il n’y a pas une autre méthode pour calculer le nombre de trajets car si par exemple on avait A(8 ;10) et bien c’est quasiment impossible de compter ou faire un arbre.
    b) Soit M(x,y) ou’ la particule arrive puis retourne au point O.
    Vect(OM + MO) = xi+yj-xi-yj
    x=0 alors y=2 d’ou Vect(OM + MO) = 2j-2j 2 points M1(0;2), M2(0;-2) qui fait 2 trajets
    x=1 alors y=1 d’ou Vect(OM + MO) = i+j-i-j 8 points 8[(1;1), (1;-1), (-1;1), (-1;-1)] qui fait 8 trajets
    x=2 alors y=0 d’ou Vect(OM + MO) = 2i -2i 2 points (2 ;0), (-2 ;0) qui fait 2 trajets
    donc 12 trajets en tout.
    Là aussi, y’a t il pas plus simple ?

    Merci pour vos commentaires

    -----

  2. #2
    invite332de63a

    Re : trajets d'une particule

    Bonjour, pour la 2 oui il y a plus simple, en gros tu dois faire deux fois HAUT et deux fois DROITE. Au lieu de compter les trajets, tu aurais pu te demander comment placer tes deux HAUT parmi les quatre déplacements, les droite complétant ainsi les 2 coups restants. Il y a 2 parmi 4 possibilités, donc 6 si je ne m'abuse.

    Pour la 2)b), logiquement, il doit y avoir autant de HAUT que de BAS, de DROITE que de GAUCHE.

    Après disjonction des cas. Je pense que ça ressemble beaucoup à ce que tu as fait.


    RoBeRTo

  3. #3
    inviteea028771

    Re : trajets d'une particule

    Attention, pour la b), il y a plus de 12 trajets.

    En partant dans une direction fixée au premier coup (par exemple à droite) :

    Il y a 2 trajets qui "bouclent" (par exemple : droite, haut, gauche, bas)
    Il y a 4 trajets qui repassent par O (par exemple : droite, gauche, bas, haut)
    Il y a 3 trajets qui ne repassent pas par O et qui ne bouclent pas (par exemple : droite, droite, gauche, gauche)

    Et par symétrie, il y en a 4 fois plus de trajets si on considère les 4 directions pour le premier coup (qui donnent des trajets différents)

    Soit 9*4 = 36 trajets possibles pour revenir en O.

  4. #4
    inviteea028771

    Re : trajets d'une particule

    Le temps étant écoulé pour éditer le message précédent, je double post

    Pour prendre le problème de façon plus générale, on peut tout d'abord fixer le nombre de fois ou on va a droite (ça fixe le nombre de fois ou on prend chaque direction), puis ensuite arranger ces directions :

    Si on va 0 fois à droite, on va 2 fois en haut et 2 fois en bas, et il y a donc C(2,4) trajets de cette façon (on choisi les 2 emplacements des déplacements hauts)
    Si on va 1 fois à droite, on va 1 fois dans chaque direction, et il y a donc 4! trajets de cette façon
    Si on va 2 fois à droite, on va 2 fois à gauche, et il y a donc C(2,4) trajets de cette façon

    Et on retrouve les 36 trajets.

    On peut étendre ce type de raisonnement a un nombre pair quelconque de déplacements.

    Par exemple, pour 10 déplacements :

    0 fois à droite, donc C(5,10) déplacements
    1 fois à droite, donc C(1,10)*C(1,9)*C(4,8) déplacements
    2 fois à droite, donc C(2,10)*C(2,8)*C(3,6) déplacements
    3 fois à droite, donc C(3,10)*C(3,7)*C(2,4) déplacements
    4 fois à droite, donc C(5,10) déplacements

    On remarque d'ailleurs que le nombre de trajets ou l'on va k fois à droite lors d'un trajet de longueur 2n qui fini en 0 est le même que celui ou on va n-k fois à droite (en effet, on va alors k fois à gauche, et par permutation ce résultat est logique)

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    kaderben

    Re : trajets d'une particule

    Bonjour
    Vous trouvez 36 trajets pour la quedtion 2°) b)
    Ci dessus un dessin ou' j'ai compté que 12 trajets

    Nom : Particule1.jpg
Affichages : 90
Taille : 11,2 Ko

    Dans le premier quadrant:
    OICIO, OIEJO, OJEIO donc 3 trajets et par symétrie: 3*4 = 12 trajets

  7. #6
    inviteea028771

    Re : trajets d'une particule

    Sauf que tu en oublie plein : par exemple "droite, bas, haut, gauche" ou encore "droite, gauche, gauche, droite"

    Et tu ne les obtiens pas par symétrie, puisque le premier mouvement ne serra pas droite par symétrie

  8. #7
    kaderben

    Re : trajets d'une particule

    Effectivement, j'ai mal compté !
    Je vais refaire les comptes.
    Merci pour la remarque.

  9. #8
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    Annullé....
    Dernière modification par Amanuensis ; 17/01/2013 à 16h11. Motif: Incompréhension de ma part, qui n'a pas duré
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  10. #9
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    Par exemple, pour 10 déplacements :

    0 fois à droite, donc C(5,10) déplacements
    1 fois à droite, donc C(1,10)*C(1,9)*C(4,8) déplacements
    2 fois à droite, donc C(2,10)*C(2,8)*C(3,6) déplacements
    3 fois à droite, donc C(3,10)*C(3,7)*C(2,4) déplacements
    4 fois à droite, donc C(5,10) déplacements
    Y'a pas une typo ? La dernière ligne à remplacer comme suit ?

    4 fois à droite, donc C(4,10)*C(4,6)*C(1,2) déplacements
    5 fois à droite, donc C(5,10) déplacements
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  11. #10
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    Citation Envoyé par Tryss Voir le message
    On remarque d'ailleurs que le nombre de trajets ou l'on va k fois à droite lors d'un trajet de longueur 2n qui fini en 0 est le même que celui ou on va n-k fois à droite (en effet, on va alors k fois à gauche, et par permutation ce résultat est logique)
    Et ça ça me perturbe. Ce ne serait pas plutôt "(en effet, on va alors k fois vers le haut, et par permutation ce résultat est logique)" ?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  12. #11
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    L'égalité se retrouve formellement en réalisant que le nombre est le coefficient multinomial C(2n, [k, k, n-k, n-k]), ce qu'on peut rationaliser a posteriori...

    [Fin de mes commentaires un peu HS...]
    Dernière modification par Amanuensis ; 17/01/2013 à 16h50.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  13. #12
    inviteea028771

    Re : trajets d'une particule

    Oui Amanuensis, tes remarques sont justes. Je vais (sournoisement) attribuer ces erreurs à l'heure d'écriture du message

  14. #13
    kaderben

    Re : trajets d'une particule

    Bonjour
    Voilà, j'ai recompté, effectivement j'ai oublié 8 trajets:

    Nom : Particule1.jpg
Affichages : 67
Taille : 13,1 Ko

    Selon i on a: OIFIO, OIEIO donc 2 trajets
    Selon -i,j,-j la même chose
    donc selon i,-i,j,-j on a 8 trajets
    Ce que j'ai compté avant je le rappelle ici:
    Dans le premier quadrant:
    OICIO, OIEJO, OJEIO donc 3 trajets et par symétrie: 3*4 = 12 trajets

    En tout je compte 12 + 8 = 20 trajets

    Est ce que je me trompe, je n'en sais rien, mais 36 trajets me paraissent beaucoup

    Merci

  15. #14
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    Si vous prenez les trajets combinant les 4 mouvements différents, vous en avez 4!, soit 24 à eux tous seuls.

    Les 12 autres sont les allers-retours linéaires, DGDG, DGGD, DDGG, fois 4 .
    Dernière modification par Amanuensis ; 18/01/2013 à 20h46.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  16. #15
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    HS, ou plutôt ES (extension de sujet) :

    Les premières valeurs sont 4, 36, 400 et 4900. Que des carrés, et la suite des racines est 2, 6, 20, 70, où l'on reconnaît les C(2n,n). Conjecture : le nombre de possibilités pour 2n mouvements est (C(2n,n))². Démonstration ???
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  17. #16
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    Suite ES : Je crois avoir trouvé !

    Au lieu de prendre les déplacements (0,1), (0, -1), (1, 0) et (-1, 0), on fait un changement de repère pour travailler avec (-1, -1), (1, -1), (-1, 1) et (1, 1). On a alors découplé les deux dimensions, et suffit de répartir n + et n - sur l'une, C(2n, n) cas, et de même sur l'autre. Total (C(2n,n))² cas. Application numérique n=2, (6!)² = 36.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  18. #17
    kaderben

    Re : trajets d'une particule

    Je n'en suis pas encore là :
    "Les premières valeurs sont 4, 36, 400 et 4900. Que des carrés, et la suite des racines est 2, 6, 20, 70, où l'on reconnaît les C(2n,n). Conjecture : le nombre de possibilités pour 2n mouvements est (C(2n,n))². Démonstration ??? "

    Les trajets que tu cites:
    "Les 12 autres sont les allers-retours linéaires, DGDG, DGGD, DDGG, fois 4 . "

    ce ne sont pas des trajets sur le dessin que j'ai fait , à moins que, je sais pas quoi.
    Merci

  19. #18
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    Citation Envoyé par kaderben Voir le message

    Les trajets que tu cites:
    "Les 12 autres sont les allers-retours linéaires, DGDG, DGGD, DDGG, fois 4 . "

    ce ne sont pas des trajets sur le dessin que j'ai fait , à moins que, je sais pas quoi.
    En quoi posent-ils un problème ? Ces trajets sont parmi ceux indiqués par Tryss. J'ai juste répété un peu différemment son décompte :

    Si on va 2 fois à droite, on va 2 fois à gauche, et il y a donc C(2,4) trajets de cette façon
    C(2,4) (en utilisant sa notation), c'est 6, cela correspond à DGDG, DGGD, DDGG, et les trois autres obtenus en permutant G et D.

    Où est le problème ?
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  20. #19
    kaderben

    Re : trajets d'une particule

    Je crois qu'il y a un malentendu, c'est pour ça je n'ai pas compris les trajetsGDG, DGGD, DDGG
    Tu veux dire à partir de O: on se déplace à droite (i) puis à gauche (-i) puis à droite (i) puis à gauche (-i) ce qui nous donne pour le premier selon mon dessin:
    OIOIO qui repasse deux fois par O
    Je croyais qu'on considère que les trajets qui reviennent une seule fois en O pour finir, comme par exemple: OIEJO
    Peut être j'ai mal interprété la question.
    Merci pour tout.

  21. #20
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    Citation Envoyé par kaderben Voir le message
    Je croyais qu'on considère que les trajets qui reviennent une seule fois en O pour finir
    Cela change évidemment le décompte !

    Cependant j'ai beau lire et relire l'énoncé, message #1, et je n'y trouve rien qui indique une telle limitation.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  22. #21
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    PS : Le nombre de parcours passant par l'origine au bout du deuxième mouvement est 4x4=16 (4 possibilités pour le premier couple, 4 pour le second), il en reste bien 36-16=20 ne passant pas au centre avant la fin, comme vous avez compté.
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

  23. #22
    kaderben

    Re : trajets d'une particule

    ça fait plaisir que tu confirmes les 20 trajets que j'ai compté, car comme je ne suis pas trop rapide, j'ai mis du temps!

    Je n'ai pas encore regardé la théorie dans vos messages mais je vais m'y mettre et ensuite je passerai à la troisième et dernière question qui est apparemment pas facile.
    Merci pour tout.

  24. #23
    Amanuensis

    Re : trajets d'une particule

    Je n'avais pas encore lu la troisième question ; il me semble qu'elle confirme l'analyse selon laquelle il faut compter, question 2, les trajets passant par O deux fois...
    Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.

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