Question sur une propriété de polynomes

[daviddit]

Bonjour,

j'ai découvert une propriété intéressante sur les polynômes dans un corps Z/pZ.
Soit p un nombre premier supérieur à 3.
Soit i et j deux nombres tels que i < p et j < p
Soit P(X) = (X - 1)^i et Q(X) = (X - 1)^j.
On note P(X) = p0 + ... + pi*X^i
On note Q(X) = q0 + ... + qj*X^j
On a alors : i + j > p - 1 <=> somme des pk*qk, pour k entier positif est nulle dans Z/pZ

Je pensais que c'était trivial à démontrer, mais je n'y arrive pas.
Quelqu'un peut-il me donner un coup de main svp ?

Cdlt,

David
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[Jedoniuor]

Bonjour,

Sauf erreur, on peut faire comme ceci:

On a


et



et votre somme est donc



On peut supposer que . On a



Dans la dernière expression , on reconnait le coefficient de dans le produit




de sorte que (cette formule doit s\^urement \^etre connue), et la démonstration se termine sans difficultés (on utilise ici que i et j sont ).

Cordialement.

[Jedoniuor]

Bon, les binomiaux sont peut-\^etre écrits à l'envers...

[daviddit]

Merci beaucoup pour la preuve, c'est très clair et ça m'enlève une épine du pied !

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]