Equation complexe

[le fouineur]

Bonjour à tous,

J'ai à nouveau des difficultés pour résoudre une équation complexe avec module au carré.(Je fait systématiquement tous les exercices du Monnier ancienne édition).Si je n'ai pas eu de nouveau recours à vous pour le système d'équation,c'est que j'ai finalement réussi avec les formules de Cramer.L'équation d'aujourd'hui est la suivante:

2Z+|Z|^2+1-2i=0
Si 2Z convient alors 2Z=-|Z|^2-1+2i
Donc il existe x appartenant à R tel que Z^2=x+2i
Ensuite x+2i+|Z|+Sqrt(2Z)=-1+2i et la je m'enlise.....

Pourriez-vous me donner des indications pour continuer le calcul? Ou tout est faux dans mes hypothèses?

Merci d'avance pour toute aide qui sera la bienvenue Cordialement le fouineur
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[gg0]

Ton début est intéressant, mais la déduction que tu fais :
"il existe x appartenant à R tel que Z^2=x+2i" ne m'est pas compréhensible.

Tu as la forme complexe algébrique de 2z, donc tu connais sa partie imaginaire et sa partie réelle. Il suffit de poser z=a+ib et ça vient tout seul.

On obtient exactement la même chose en le faisant dans l'équation initiale.

Cordialement.

[le fouineur]

Bonjour gg0 et merci pour ta réponse rapide,

Je vais essayer de le faire comme tu me le proposes.

Cordialement le fouineur

[le fouineur]

Bonjour gg0 et tous,

Voila ce que j'ai fait mais c'est faux à partir d'une ligne....

L'équation 2Z-|Z|^2=-1+2i admet a et b appartenant à R2 tel que Z=a+ib

2(a+ib)+a^2+b^2=-1+2i

2a+2ib+a^2+b^2=-1+2i égalons les parties réelles et imaginaires:

2a+a^2+b^2=-1
2ib=2i implique b=1

d'oû 2a+a^2+1=-1
a^2+2a+2=0 après résolution a=-1+i ou a=-1-i

après calcul de a+ib=-1+i+i=-1+2i implique b=2 d'oû contradiction avec b=1

l'erreur est flagrante,à quel endroit me suis-je trompé?

Merci d'avance pour votre aide Cordialement le fouineur

[A voir en vidéo sur Futura]

[breukin]

Vous ne vous êtes pas trompé, et on peut conclure dès le constat des valeurs de a solutions de l'équation du second degré en a.
Il est inutile de calculer a+ib. Vous avez perdu de vue en chemin l'hypothèse sur a et b, ce qui fait que la suite de vos calculs est tout simplement dénuée de sens.

[le fouineur]

Merci breukin pour ta réponse rapide,

L'erreur que je vois est que j'avais posé a et b comme deux réels et que lors de la résolution de l'équation en a du second degré on trouve deux valeurs complexes conjuguées pour valeurs de a.Que doit t'on en déduire? Dîtes-moi à partir d'oû c'est faux...

Cordialement le fouineur

[gg0]

Quelles sont les solutions réelles de a²+2a+2= 0
Donc quelles sont les solutions du problème initial ?

Cordialement.

[breukin]

Rien n'est faux. C'est que vous n'arrivez pas à conclure, en constatant qu'il n'y a pas de racine réelle pour a.

Je vous mets sur la piste avec une autre équation dans les complexes : . Quelles en sont les racines ?

[le fouineur]

bonjour à breukin et à gg0,

@gg0 l'équation a^2+2a+2=0 n'admet pas de solutions réelles donc l'hypothèse sur a et b appartenant à R est fausse et il n'existe pas de solutions au problème tel que je l'ai posé....

@breukin votre équation n'admet aucune solution dans C car un module est toujours positif et à fortiori une somme d'un module et d'un module au carré.votre équation n'admet donc aucune solution dans C.Pourtant l'équation que j'ai posée dans mon premier post admet exactement deux solutions dans C qui sont: {i,2+i}.Mais je ne vois pas de moyen simple pour le démontrer à partir de l'équation du premier post....

Merci pour votre aide Cordialement le fouineur

[breukin]

L'équation que vous avez posée n'admet aucune solution dans C, puisque vous avez démontré que a supposé réel devait alors nécessairement vérifier une équation du second degré qui n'a pas de solution réelle.
Votre équation n'admet pas ni comme solutions.

Alors à un moment, vous avez introduit un signe moins qui semblait être une faute de frappe, puisque le plus revenait immédiatement à la ligne suivante, et le moins n'apparaissait nulle part ailleurs :

L'équation 2Z-|Z|^2=-1+2i admet a et b appartenant à R2 tel que Z=a+ib
2(a+ib)+a^2+b^2=-1+2i

Il est certain de l'équation admet les solutions indiquées.

[le fouineur]

Je suis désolé de vous avoir faire perdu du temps suite à cette faute de frappe,j'ai repris le problème avec les valeurs corrigées et j'ai abouti aux solutions que j'avais énoncées.

Avec mes excuses Cordialement le fouineur