Equation complexe

[invite48ca7510]

Bonjour à tous !

Je dois résoudre cette équation : (z-1)ⁿ=1 (avec z un complexe) mais je n'y arrive pas du tout... Je ne sais pas par où commencer en fait...

Pourriez-vous m'aider à trouver des pistes ?

Merci d'avance !
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[danyvio]

C'est une idée sans prétention : peut-être écrire l'équation sous la forme (x-1 + iy)ⁿ =1, calculer le module et l'argument et continuer avec Moivre.

[danyvio]

C'est une idée sans prétention : peut-être écrire l'équation sous la forme (x-1 + iy)ⁿ =1, calculer le module et l'argument et continuer avec Moivre.

J'aurais dû préciser :
peut-être écrire l'équation sous la forme (x-1 + iy)ⁿ =1, calculer le module et l'argument de x-1 + iy et continuer avec Moivre

[invite48ca7510]

Bonjour,

j'avais déjà eu cette idée, mais je ne vois pas en quoi ça m'avance... (j'ai oublié : n est impair et supérieur ou égal à 3)

|z-1| = (x²-2x+1+y²)^1/2
Et si on note A = arg(z-1) : cos(A) = (x-1)/(|z-1|) et sin(A) = y/|z-1|

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Je dois résoudre cette équation : (z-1)ⁿ=1 (avec z un complexe)

On pose et on se ramène à qu'on sait résoudre.

[invite48ca7510]

Tu veux dire ?

Parce que admet avec k élément de {3;5;7;...;n}

Mais pour revenir au petit z...

[inviteea028771]

Bah si tu as z-1 = e^(2*i*pi*k/n) alors z = 1+ e^(2*i*pi*k/n) non?

Et au passage k est dans {0,1,2,...,n-1}

[invite48ca7510]

Merci, c'est tellemenr "bête" que je n'y pensais pas !

Et k n'est pas dans {3,5,7,...n} ? Parce que n est entier naturel impair supérieur ou égal à 3

[inviteea028771]

Oui, c'est n qui est impair et supérieur à 3, pas k.

Ainsi 1+e^(2*i*pi/n) est solution tout comme 1+e^(2*i*pi*2/n)

[invite705d0470]

Donc les solutions sont les complexes de la forme avec