Extremum

[invitecea53826]

Bonjour tout le monde,
J'ai un exercice dont j'ai tellement réflechi mais je n'arrive pas à trouver la solution :
Soit :

Montrer que la restriction de f à chaque droite passant par (0;0) admet un minimum en (0;0) mais que f n'admet pas d'extremum en (0;0).
Pour répondre à la première partie, j'ai poser y=ax avec a élement de R, mais le raisonnement ne ramène à rien.
Pour la deuxième partie, il faut montrer que quelque soit V un voisinage de (0;0) l'accroissement
f(x;y)-f(0;0) n'a pas de signe constant.
Merci pour votre aide.
Cordialement.
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[Bruno]

Bonjour,

Les points suspects d'extrémer f sont les points où la différentielle de f s'annule (càd là où le gradient est nul).

[invite57a1e779]

Pour répondre à la première partie, j'ai poser y=ax avec a élement de R, mais le raisonnement ne ramène à rien.

Pourtant, on se retrouve avec une fonction de la seule variable x, et il devrait être facile de déterminer s'il y a un minimum à l'origine.
Attention, toute droite passant par l'origine n'a pas une équation de la forme y=ax.

Pour la deuxième partie, il faut montrer que quelque soit V un voisinage de (0;0) l'accroissement
f(x;y)-f(0;0) n'a pas de signe constant.

Rien n'est plus facile que de déterminer le signe de cet accroissement pour vérifier s'il est de signe constant ou non.

[invitea07f6506]

Les points suspects d'extrémer f sont les points où la différentielle de f s'annule (càd là où le gradient est nul).

1) Merci d'écrire français ("extrémer" n'a jamais été, n'est pas, et ne sera probablement jamais un verbe en français).
2) Merci de donner un indice qui pourrait aider à résoudre la question posée (la différentielle de la fonction proposée s'annule en 0, sinon on n'aurait pas un minimum en 0 pour chaque droite passant par l'origine, donc 0 est "potentiellement" un minimum).

Sinon, par rapport à la deuxième question posée, je propose de diviser le plan en plusieurs parties :
* les courbes d'équation et ;
* la partie au-dessus ou en-dessous de ces courbes : ;
* la partie entre ces courbes : .

Alors quel est le signe de la fonction sur chacune de ces parties ? Que vaut-elle en ? Par conséquent, le point peut-il être un minimum ou un maximum (remarquer que chacune de ces parties recoupe tout voisinage de ) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Bruno]

1) Merci d'écrire français ("extrémer" n'a jamais été, n'est pas, et ne sera probablement jamais un verbe en français).

Merci d'être moins agressif. Si tu veux jouer à ça, on "écrit en français". Je t'accorde que ce verbe ne se trouve pas dans le dictionnaire de l'Académie, comme tout un tas de mots faisant partie du vocabulaire mathématique. Dans ce cas, c'était suffisamment explicite (et utilisé dans certains livres/cours) pour te passer de ce genre de remarque débile.

2) Merci de donner un indice qui pourrait aider à résoudre la question posée (la différentielle de la fonction proposée s'annule en 0, sinon on n'aurait pas un minimum en 0 pour chaque droite passant par l'origine, donc 0 est "potentiellement" un minimum).

L'utilisation de la différentielle est un indice en soi ! L'exclusion d'un extrémum pouvant se faire dans ce cas en étudiant la matrice hessienne df² évaluée au point (0,0).

[inviteaf48d29f]

Merci d'être moins agressif. [...] te passer de ce genre de remarque débile.

Non non, je ne dis rien moi.

[invitea07f6506]

L'utilisation de la différentielle est un indice en soi ! L'exclusion d'un extrémum pouvant se faire dans ce cas en étudiant la matrice hessienne df² évaluée au point (0,0).

Malheureusement, la matrice hessienne en (0,0) a une valeur propre égale à 2 et l'autre égale à 0, ce qui empêche d'en tirer des conclusions. Same player shoot again ?

[invite57a1e779]

Malheureusement ... ce qui empêche d'en tirer des conclusions.

Il est évident a priori que cet exercice sert à déjouer le sens commun qui voudrait que, si l'on a un minimum dans toutes les directions, alors on a un minimum global.
Puisqu'on est dans une situation qui prend en défaut l'intuition, c'est que c'est un peu fin, et que tous les critères théoriques usuels vont se casser les dents sur l'exercice.
Il est dommage que dwcns ne se soit pas manifesté depuis hier : son approche était très saine, ne demandait pas l'utilisation d'une grosse artillerie, et concluait facilement ; je ne comprends pas pourquoi il n'a pas pu résoudre cet exercice.

[invitecea53826]

Merci de vos réponses.
Mais il y a une règle : Tout point extremum est un point critique ( c.à.d les dérivées partielles y s'annulent ). La réciproque est fausse.
J'ai fait le raisonnement approprié, et j'ai trouvée que (0;0) est un point critique.
En utilisant la notation de Monge, je trouve Delta = 0. C'est le cas où on ne peut rien conclure.
Dans la plupart des exercices on trouve un carré dans l'expression de la fonction qu'on peut donc éliminer.
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De plus, je ne me connecte pas tout le temps et je n'arrive pas à résoudre le problème et c'est pour ça que je demande votre aide.
Cordialement