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Equation complexe



  1. #1
    Sharp

    Equation complexe


    ------

    Bonjour,
    j'ai un petit problème dans la résolution d'une équation complexe du troisième degré. L'équation est:
    z^3 - 2 z^2 + z - 2=0
    D'abord, j'ai recherché une racine évidente de cette équation pour obtenir une équation du second degré. La seule que j'ai trouvé est i.
    Or, en factorisant ensuite l'équation initiale par (1-i), j'obtiens bien une équation du second degré, mais à coefficients imaginaires, ce qui fait que delta = b^2 - 4ac est lui-même un nombre imaginaire. Or je ne sais pas résoudre ce genre d'équations.
    La seule solution que je vois serait de trouver une racine évidente dans R, mais je n'en trouvve pas (j'ai essayé les premiers nombres relatifs, et quelques nombres décimaux simples, et ça ne marche jamais...).
    Savez-vous comment je dois faire, ou voyez-vous une racine évidente?
    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    Quinto

    Re : Equation complexe

    Salut, note qu'ici tu as un polynome réel, et donc tu peux montrer facilement que si z est solution alors z* est aussi solution (je t'ai fait la demo mais mon message a été effacé donc je la recommence pas, mais pour le demontrer passe chacun des membres de ton equation au conjugué et tu verras que tout va très bien tout ca)
    Tu en déduis que -i est solution également, et ainsi tu peux factoriser ton polynome ainsi:
    (x-i)(x+i)(x-a) et par identification a=2 est solution.
    Mais ca se voyait tres bien tout seul.
    Aussi a 15ans c'est pas un peu tot pour résoudre ca non?

  3. #3
    Didine

    Re : Equation complexe

    Boujour
    ma calculatrice me donne 2 comme résultat et c'est apparemment la seule valeur en tout cas réelle.
    Bon courage

  4. #4
    Sharp

    Re : Equation complexe

    Salut,
    merci, j'avais fait une bête erreur de calcul en essayant avec z=2 (j'avais dit que 2z^2=4 au lieu de 8...).
    Merci Quinto pour la propriété que tu m'as donnée, j'ai en effet réussi à la démontrer asez facilement.
    Aussi a 15ans c'est pas un peu tot pour résoudre ca non?
    Ben je suis en TS!

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Quinto

    Re : Equation complexe

    Note que ce résultat est tout le temps vrai dans le cas réel mais pas dans le cas complexe bien évidemment.
    Je le précise pour ceux qui lisent et qui n'ont pas fait la démo de ca, sinon ca se voit en effet très bien...

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