Une compactification des réels

[Seirios]

Bonsoir à tous,

Je viens de lire l'article Some pictoral compactifications of the real line (très intéressant d'ailleurs), et j'ai du mal à visualiser la construction mentionnée au dernier paragraphe de la deuxième page ; plus précisément, je ne vois pas comment la droite des réels s'enroule dans le tore pour en remplir l'intérieur.

Quelqu'un voit-il comment les choses se passent ?

Seirios
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[invite14e03d2a]

Salut,

tout d'abord considère la droite dans . On peut montrer que passe par un point de coordonnées entières (autre que (0,0) ) si et seulement si a est rationnel.
Pour obtenir le tore à partir de , il faut quotienter par . Si a est rationnel, alors l'image de dans le tore est un cercle (la droite réelle s'enroule un certains nombre de fois autour du tore avant de revenir à son point de départ). Dans le cas irrationnel, la droite s'enroule sans jamais repasser par son point de départ et son image est dense dans le tore.

Une recherche sur "feuilletage linéaire du tore" devrait fournir une image.

[invite179e6258]

oui mais c'est pas ça qui est fait dans l'article. D'après ce que je comprends, l'image de la droite est dense dans le tore plein. Encore que je ne comprenne pas pourquoi il parle d' "une copie de R". J'ai l'impression qu'il ne remplit qu'une section du tore (?)

[Seirios]

tout d'abord considère la droite dans . On peut montrer que passe par un point de coordonnées entières (autre que (0,0) ) si et seulement si a est rationnel.
Pour obtenir le tore à partir de , il faut quotienter par . Si a est rationnel, alors l'image de dans le tore est un cercle (la droite réelle s'enroule un certains nombre de fois autour du tore avant de revenir à son point de départ). Dans le cas irrationnel, la droite s'enroule sans jamais repasser par son point de départ et son image est dense dans le tore.

Une recherche sur "feuilletage linéaire du tore" devrait fournir une image.

Tu t'es arrêté un paragraphe trop tôt, la construction qui m'intéresse est au paragraphe qui suit

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

oui mais c'est pas ça qui est fait dans l'article. D'après ce que je comprends, l'image de la droite est dense dans le tore plein. Encore que je ne comprenne pas pourquoi il parle d' "une copie de R". J'ai l'impression qu'il ne remplit qu'une section du tore (?)

De ce que j'ai compris, la droite réelle doit spiraler à l'intérieur du tore plein de telle sorte que si l'on rajoute la surface du tore, on obtienne un ensemble compact.

[Seirios]

Je pense finalement avoir compris, je vais essayer d'être clair :

Prenons un disque et traçons une spirale partant du centre de ce disque jusqu'à "converger" vers le cercle autourant ce disque sans pour autant l'atteindre. Ensuite, on déroule cette ligne en faisant tourner le disque autour d'un axe fixe une infinité de fois pour que notre disque forme un tore plein. Alors l'union disjointe de notre ligne et de la surface extérieure de notre tore plein est compact.

On a ainsi construit une compactification Y de telle que soit homéomorphe à un tore.

[invite14e03d2a]

Tu t'es arrêté un paragraphe trop tôt, la construction qui m'intéresse est au paragraphe qui suit

Au temps pour moi