propriete sur les irreductibles
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propriete sur les irreductibles



  1. #1
    Gothmog

    propriete sur les irreductibles


    ------

    Bonjour,

    dans mon cours il est écrit que dans un anneau commutatif unitaire non trivial et principal, si a n'est pas un produit d’irréductible alors a n'est pas irréductible.
    C'est dit sans aucune explication et je ne vois pas comment prouver ça, alors je suppose que c'est moi qui ne vois pas plus loin que le bout de mon nez , quelqu'un a une idée ?
    Merci beaucoup !

    Gothmog

    -----
    Dernière modification par Gothmog ; 16/01/2013 à 23h04.

  2. #2
    toothpick-charlie

    Re : propriete sur les irreductibles

    si a est irréductible, il est bien produit d'irréductible (sans s).

  3. #3
    Gothmog

    Re : propriete sur les irreductibles

    Merci toothpick-charlie, mais alors là je pense être perdu . Voila le raisonnement que je tiens : si a est irréductible alors a=bc implique b ou c est inversible, et si on pose a = a(1) x ... x a(k) avec les a(n) inversibles alors a(n) est non inversible, et un produit de non inversible est non inversible (je l'ai prouvé de cette façon : soit x et x' non inversibles de A, et on suppose que xx' est inversible, alors (xx')=A, mais x divise xx', donc (xx') est inclut dans (x) et donc (x)=A donc x est inversible, ce qui contredit les hypothèses de départ), d’où l'existence de b' et c' non inversibles tels que a=b'c'.
    Du coup comment a irréductible ==> a produit d’irréductible, et où me goure-je dans mon raisonnement ?
    Dernière modification par Gothmog ; 17/01/2013 à 15h12.

  4. #4
    Gothmog

    Re : propriete sur les irreductibles

    En relisant mon dernier post je me suis rendu compte que j'avais écris une bêtise.
    Citation Envoyé par Gothmog Voir le message
    si on pose a = a(1) x ... x a(k) avec les a(n) inversibles alors a(n) est non inversible, et un produit de non inversible est non inversible (je l'ai prouvé de cette façon : soit x et x' non inversibles de A
    Je voulais bien entendu dire que a(n) est irréductible donc non inversible.

  5. A voir en vidéo sur Futura

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