Bonjour,
dans mon cours il est écrit que dans un anneau commutatif unitaire non trivial et principal, si a n'est pas un produit d’irréductible alors a n'est pas irréductible.
C'est dit sans aucune explication et je ne vois pas comment prouver ça, alors je suppose que c'est moi qui ne vois pas plus loin que le bout de mon nez, quelqu'un a une idée ?
Merci beaucoup !
Gothmog
si a est irréductible, il est bien produit d'irréductible (sans s).
Merci toothpick-charlie, mais alors là je pense être perdu. Voila le raisonnement que je tiens : si a est irréductible alors a=bc implique b ou c est inversible, et si on pose a = a(1) x ... x a(k) avec les a(n) inversibles alors a(n) est non inversible, et un produit de non inversible est non inversible (je l'ai prouvé de cette façon : soit x et x' non inversibles de A, et on suppose que xx' est inversible, alors (xx')=A, mais x divise xx', donc (xx') est inclut dans (x) et donc (x)=A donc x est inversible, ce qui contredit les hypothèses de départ), d’où l'existence de b' et c' non inversibles tels que a=b'c'.
Du coup comment a irréductible ==> a produit d’irréductible, et où me goure-je dans mon raisonnement ?
En relisant mon dernier post je me suis rendu compte que j'avais écris une bêtise.
Je voulais bien entendu dire que a(n) est irréductible donc non inversible.Envoyé par Gothmog
