Somme, puissance et pgcd

[invite9617f995]

Bonjour à tous,

Je cherche à calculer la somme suivante : .

Pour le moment, je ne vois pas trop comment attaquer ça. Si quelqu'un a une piste, je suis preneur.

Merci d'avance,

Silk
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[Seirios]

Bonsoir,

Je ne pense pas que l'on puisse obtenir quelque chose de vraiment sympathique, même dans des cas simples. Par exemple, on a , et je ne crois pas que l'on dispose d'une expression simplifiée de la deuxième somme. Encore plus compliqué semble être le cas particulier avec premiers.

Ce problème a un contexte particulier ?

[invite9617f995]

Je considère E^N avec E={-1,1}. Pour 0<=k<N, je considère la "translation" T_k qui a (S₁, S₂, ..., S_N) dans E^N associe (S_1+k, S_2+k, ..., S_N, S₁, ..., S_k).

Les T_k forment un groupe T, que je fais agir naturellement sur E^N. Si je ne me suis pas trompé, le fixateur de T_k est de cardinal 2^pgcd(k,N) (avec les mains, j'ai pgcd(k,N) "emplacements" de mon vecteur de E^N qui sont "libres", et j'ai deux choix pour chacun). La somme en question apparait donc lorsque j'essaie de calculer le nombre d'orbites par la formule de Burnside.

Petite remarque en passant : ça prouve au moins que cette somme doit être un entier divisible par N.

Voilà le contexte,

Silk

[Seirios]

Tu peux toujours réécrire la somme en ; il est peut-être possible de simplifier la somme avec un peu de culture en théorie des nombres. En tout cas, si tu trouves un élément de réponse je suis intéressé

[A voir en vidéo sur Futura]