Petit paradoxe avec infinis.

[Lepton]

Bonjour,

je suis tombé sur cette vidéo : http://www.youtube.com/watch?v=kIq5CZlg8Rg dans laquelle l'auteur "démontre" que 1+2+4+8+16+32+64+... +∞ =-1.

Je vous invite à la regarder, sinon, voilà comment il procède :

(1+2+4+8+16+32)=l'infini.
Donc 1(1+2+4+8+16+32+...)= +∞
Comme (2-1)=1, on peut donc écrire de manière équivalente
(2-1)(1+2+4+8+16+32+64+...)
mais lorsque l'on développe :
(2-1)(1+2+4+8+16+32+64+...) = 2+4+8+16+32+64+...-1-2-4-8-16-32-64, tous les nombre s'annulent, sauf le -1.

Donc 1+2+4+8+16+32+64+...= -1

Je sais bien que quelque chose m'échappe et qu'il y a un non sens mathématique quelque part, mais je ne vois pas quoi.

Si quelqu'un pourrait m'expliquer simplement en quoi ce "raisonnement" ne tiens, pas, je suis preneur

P.S : Je suis en terminale S donc pas d'explication trop complexes svp (si possible évidemment )

J'ai déjà rémarqué que quand on développe "dans l'autre sens", on obtient 2-1+4-2+8-4+16-8+32-16+... ce qui tend bien vers l'infini Mais je ne comprend toujours pas pourquoi dans l'autre cas la suite semble être égale à -1.
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[invite179e6258]

c'est juste qu'on ne calcule pas avec de la même manière qu'avec les nombres ordinaires, et en particulier la différence n'est pas définie.

[gg0]

Bonjour.

Le développement avec les deux sommes infinies est-t-il l'application d'une règle mathématique ? Il ne semble pas. Donc il s'agit d'une imitation de calcul, masi pas d'un calcul. Ce qui donne un résultat amusant, mais pas un vrai paradoxe.
Pour continuer à s'amuser :
Dans 2+4+8+16+32+64+...-1-2-4-8-16-32-64-... on ne va jamais soustraire, car on n'aura jamais fini d'additionner

D'un point de vue mathématique :
1+2+4+8+16+32+... est ce que l'on appelle une série, et est défini (très sérieusement) comme la limite, quand n tend vers l'infini de (1+2+4+8+16+32+...+2ⁿ) appelé la "somme partielle". Comme on ne peut pas calculer n'importe comment avec l'infini (voir les "formes indéterminées), on fera le calcul sur les sommes partielles :
(1+2+4+8+16+32+...+2ⁿ)=1(1+2+4+8+16+32+...+2ⁿ)=(2-1)(1+2+4+8+16+32+...+2ⁿ)
=(2+4+8+16+32+...+2ⁿ⁺¹)-(1+2+4+8+16+32+...+2ⁿ)=2ⁿ⁺¹-1
Comme la puissance de 2 tend vers l'infini, on retrouve bien la valeur infinie. On avait trouvé -1 à un infini près !

Cordialement.

NB : Plus directement, on a
amusant, non ?

[Bruno]

Bonjour,

En effet, la somme perd la commutativité lorsqu'on passe à l'infini, autrement dit: on ne peut pas réarranger les termes d'une série, sinon on peut prouver n'importe quoi, comme la convergence de cette série dont la divergence est évidente. Il me semble que Riemann a même montré qu'on peut faire "converger" ainsi une série divergente vers ce que l'on veut. Le seul cas où on peut quand même réarranger les termes, c'est lorsque la série converge absolument (qui est un critère plus fort que la convergence "simple").

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Le développement avec les deux sommes infinies est-t-il l'application d'une règle mathématique ? Il ne semble pas. Donc il s'agit d'une imitation de calcul, masi pas d'un calcul. Ce qui donne un résultat amusant, mais pas un vrai paradoxe.

En fait, la "relation" 1+2+4+8+16+32+64+... +∞ = -1 est assez intéressante si on sait comment elle a été obtenue.

Intéressons nous à la série entière suivante :



Son rayon de convergence est 1, et pour |z| < 1, on a S(z) = 1/(1-z)

Mais 1/(1-2) = -1


Le truc, c'est que l'égalité entre la somme infinie et la fonction 1/(1-z) n'est valable que pour |z| < 1. En dehors du disque, cette égalité n'est plus vraie !



Un peu comme on pourrait écrire, de la même façon abusive et fausse

1+4+9+16+...+∞ = 0

En effet, pour Re(z) > 1, on a :



Or

De la même manière, 1+2+3+... = -1/12

Ce "paradoxe" montre donc qu'il faut toujours faire attention au domaine ou les égalités que l'on utilise sont valides

[Bruno]

Je dirais plutot qu'il faut faire attention au sens de ce qu'on écrit, car même dans l'exemple de Tryss l'égalité entre S(z) et sa série est un abus de notation pour parler d'un certain type de convergence.

[inviteea028771]

Heu, le seul abus de notation est d'écrire au lieu d'écrire

Et il n'y a qu'un seul type de convergence possible dans ce que j'ai écrit : S(z) est un nombre, pas une fonction

[Bruno]

Heu, le seul abus de notation est d'écrire au lieu d'écrire

Oui mais derrière la limite, il y a la définition standard en terme d'epsilon. L'essentiel est qu'il s'agit d'une convergence vers S(z) et non d'une égalité stricte, certains bouquins utilisent une flèche ou un égal surmontés d'un "CS" pour bien marquer la différence.

Et il n'y a qu'un seul type de convergence possible dans ce que j'ai écrit : S(z) est un nombre, pas une fonction

Les séries numériques ont aussi plusieurs types de convergences ! Notamment la convergence simple et la convergence absolue.

En passant, j'ai retrouvé ce dont je parlais dans mon 1er post: http://fr.wikipedia.org/wiki/Théorèm...ent_de_Riemann

[invite34cf761a]

C nous qui créons les paradoxes :

1+2+4+8 + .. = 1.(1+2+4+8+ ..)
= (2-1).(1+2+4+8+ ..)

= +2+4+8+16 ..)
-1 -2 -4 - 8 ...
= 1+2+4 +8 ..)

[Bruno]

La passage de l'avant-dernière ligne à la dernière ligne est faux.

[invite63e767fa]

Bonjour Lepton,

On trouve de nombreux soit-disant "paradoxes" de ce genre dans la littérature des mathématiques amusantes.
Par exemple "Infinitotel" dans le livre "La magie des paradoxes" de Martin Garner.
Un autre paradoxe amusant : "Il y a plus de nombres qu'il y a de nombres" page 14 dans l'article "Pastiches, paradoxes, sophismes,..." par le lien : http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

[gg0]

Bruno,

"Le passage de l'avant-dernière ligne à la dernière ligne est faux."
Pas sûr. Cosmus a peut-être fait une soustraction terme à terme (1-2, 4-2, ...)

Mais quand on ne s'explique pas, on est sujet à de nombreuses critiques. Une vague phrase (mal écrite et peu significative) au début ne suffit pas. Cosmus a encore beaucoup à apprendre.

Cordialement.

[invited7e4cd6b]

Tres bonne démonstration gg0.
La puissance n+1 ème de 2 est la clef.

[Lepton]

Merci à tous pour vos réponses et/ou démonstrations, j'ai bien saisi la faille