Théorème de Bezout dans K[X]

[invite93ca7f22]

Bonsoir,

Dans la démonstration du théorème de Bezout :
On suppose AU+BV = 1 tels que A,U,B,V appartiennent à K[X].
Si D divise A et D divise B, on a A=D.A₁ et B=D.B₁. Donc D(A₁.U+B₁.V) = 1.
Donc D divise 1. Or les seuls polynômes qui divisent 1 sont les polynômes constants. Donc PGCD(A,B)=1

Je ne comprends pas la phrase soulignée, car pour moi, si les polynomes qui divisent 1 sont les polynomes constants alors PGCB(A,B) = cste et non pas PGCD(A,B)=1.
Si quelqu'un pouvait m'éclaircir, merci.
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[Médiat]

Bonsoir,

La notion de PGCD dans un anneau quelconque est un peu différente (quand elle existe) de la notion de PGCD dans IN.
Ici, dans un anneau de polynômes, on choisit un polynôme particulier parmi ceux "qui vont bien", par exemple on impose au PGCD d'être unitaire, et le polynôme constant unitaire, c'est 1.

[Seirios]

Bonsoir,

Pour donner un peu plus de détails, dans un anneau principal A, on définit le PGCD de a et b par un élément d tel que (a)+(b)=(d). Mais d n'est pas le seul élément à engendrer l'idéel (d), il est définit à multiplication d'un inversible près. Dans K[X] (qui est bien principal puisqu'euclidien), cela revient à dire que le PGCD est défini à multiplication d'un élément K (non nul) près ; une convention est alors de prendre le polynôme unitaire.