trisection de l'angle

[ilelogique]

Bonjoir,
pour cette fois, vraie question de maths (je reprendrai mon autre post quand j'aurai le temps, en épistémologie...).
Je sais bien que depuis Galois ou un peu après, on a montré par des inclusions de corps, que tous les nombres ne sont pas accessibles à la règle et au compas, tel que pi, et que de ça découlait le fait que les problèmes millénaires comme la quadrature du cercle ou la duplication du cube n'étaient pas possibles et qu'il en va de même pour la trissection de l'angle...

J'ai deux questions :

1) Comment prouver que si j'ai un angle porté par deux droites qui se coupent en O, que je fais un cercle centré en O, qui coupe les droites en A et B puis que je coupe en trois ce segment [AB] (par Thalès) alors les doites passant par O et joignant les deux nouveaux points créés sur [AB] ne coupent pas l'angle en trois ?? (montrer que l'angle du milieu ne vaut pas les deux autres...)

2) J'ai lu sur wikipédia la très simple trissection de l'angle avec règle graduée et compas. Au début je me suis dit : si ma règle est non graduée, vu que je peux construire tous les rationnels à la règle et au compas, je peux graduer ma règle et donc : graduée ou pas ça ne change rien. Or je vois qu'au fond : ça leur permet de repporter une longueur avec le compas sur aucune droite (donc une sorte de petite approximation, pirouette)... et je ne vois pas trop pourquoi on dit "règle graduée" puisqu'on peut très bien faire cette manip avec le compas (mais c'est tout aussi approximatif, non construit). cette deuxième question n'en est pas trop une...

Bon voilà,
merci.
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[ilelogique]

Ma question (le 1)) n'est pas intéressante ou bien personne ne trouve comment prouver ça svp ?
Merci,

[invite63e767fa]

Bonjour,

Pour la première question : La démonstration de l'inégalité de l'angle du milieu par rapport aux deux autres est aisée, soit par la trigonométrie, soit par géométrie analytique. Il n'est pas étonnant qu'aucun correcteur du forum n'ait eu envie de consacrer du temps à ce petit exercice, que chacun peut faire par lui-même.
Pour la seconde question : Dans les contraintes de construction "à la règle et au compas" selon les Grecs Anciens, toute marque (ou trait) est interdite sur la règle. (c'est plus précis et plus contraignant que de parler d'interdiction de "règle graduée" qui est une interprétation qui prète à confusion) . Une traduction plus exacte serait "latte" au lieu de "règle". A fortiori, pas de graduation tracée par qui que ce soit, ni avant, ni au cours de l'exercice.
Toutefois, certains ont imaginé des "astuces" plus subtiles que de tracer des marques ou des repères sur la règle, afin de contourner l'interdiction. Mais immanquablement, elles sont déjouées car elles outrepassent une autre interdiction. Un exemple est exposé à la fin du §.5 (page 8) de l'article "Trisection" par le lien : http://www.scribd.com/JJacquelin/documents

[ilelogique]

Bon je pense avoir trouvé, mais je suis tout de même gêné...
D'abord ma question est évidente si l'angle est obtus, donc la piste n'est pas fausse...

D'une façon générale :
soit a l'angle en radians, je travaille dans le repère (j'aurais bien aimé une solution purement géométrique mais je ne vois pas...) :
On peut supposer que l'une des droites est l'axe des x et que le rayon de mon cercle vaut 1, si bien qu'on est dans le cercle trigo.
On a donc le point (cosa, sina) et on coupe en trois le segment qui le relie au point I(1,0), ce qui fait apparaitre deux nouveaux points :
A (cosa- (1-cosa)/3 ; sina-sina/3) et B (cosa + 2(1-cosa)/3 ; sina - 2sina/3).
Si cette construction coupe a en trois, alors on a l'égalité des angles : IOA= 2 IOB.
On utilise ensuite tan2x=2tanx/(1-tan²x) avec, bien sûr, tan(IOA)= (sina-sina/3)/((1-cosa)/3), et IOB pareil
on tombe sur une équation trigo qui se simplifie et donne cosa=1
soit a=0.

Si quelqu'un peut confirmer mes calculs svp ?

En effet : je pensais tomber sur un angle a non trivial, il me semblait qu'il existait un angle, entre 0 et pi/2 tel qu'on ait bien l'égalité des 3 angles (car quand a est très petit j'ai l'impression que celui des 3 angles qui est entre les deux autres est plus petit, alors qu'il est clairement plus grand quand a approche de pi/2 ; les deux autres angles, par symétrie, étant clairement égaux)

Me suis-je trompé ?
Merci,

[A voir en vidéo sur Futura]

[ilelogique]

Merci pour votre réponse (je suis quand même étonné de ne pas trouver de valeur de a intermédiaire...),
par ailleurs, ce qui est curieux (pour mon 2)) : puisqu'on peut construire toutes les fractions à la règle (non graduée...) et au compas : si on a une règle non graduée, une latte, alors on peut créer une règle sur le papier et ensuite reporter ces longueurs.
Ne serait-il pas plus approprié de demander à ce qu'il ne soit pas possible de reporter une longueur ailleurs que sur une droite ou bien au départ d'un point existants plutôt que la règle ne soit pas Graduée ? Ou bien quelque chose m'échappe...
Merci.

[gg0]

Bonjour.

En fait, les règles de construction de la géométrie grecque sont "par droite et cercle". Il n'est pas question d'instrument (les mathématiciens philosophes grecs ne touchaient pas d'outils, c'était réservé aux esclaves), mais de figures idéales. les opérations (mentales) sont donc : tracer une droite à partir de deux points; tracer un cercle connaissant le centre et un point. Et toute intersection de 2 droites, une droite et un cercle ou 2 cercles est un point utilisable.
En général, on part de 2 points, donnant une droite et une longueur (unité).

Une excellente référence : "La règle et le compas" de J.C. Carréga.

Cordialement.

NB : La trisection de beaucoup d'angles est possible (à commencer par l'angle droit !).

[ilelogique]

merci,
mais donc ça veut dire que l'expression règle graduée ou non graduée n'est pas appropriée non ?