Décomposer des nombres premiers

[invite6462dd6d]

Inspiré par la manière dont les Mayas faisaient leur multiplications, une idée m'est venue pendant que je lisais un bouquin de statistique en buvant un 100% Arabica au Jdeed de Valbonne. J'écris cette idée sous la forme d'une conjecture car je ne sais pas la démontrer dans le cas général.

Conjecture de construction. Soient , et trois nombres entiers non nuls tels que :
- des éléments de est pair ;
- les n'ont aucun facteur commun ;
- pour un donné, si un élément de appartient à l'intervalle , alors les deux autre aussi.
Alors est un nombre premier.

Les nombres suivants vérifient la conjecture de construction :
1,2,3 ; 1,2,5 ; 1,2,7 ; 1,2,9 ;
2,3,5 ; 2,3,7 ;
3,4,5 ; 3,4,7 ;
4,5,7 ; 4,5,9 ;
5,6,7 ; 5,7,8 ;
7,8 9 ;
10,11,13 ; 10,11,17 ; 10,11,19 ; 10,13,17 ; 10,13,19 ; 10,17,19 ;
11,12,13 ; ...

Pour le cas , on peut visualiser le nombre premier par un dessin. Réécrivons d'abord le produit comme .



Si on relâche un peu l'une ou plusieurs des trois contraintes de la conjoncture de construction, ce serait bien de montrer que tout nombre premier peut être décomposé comme la somme de trois produits.

Conjecture de décomposition. Soient , et trois nombres entiers positifs dont au plus un est pair. N'importe quel nombre premier peut être décomposé comme la somme .
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[PA5CAL]

Bonjour

1) La Charte du forum interdit de poster plusieurs fois le même sujet. Il aurait fallu continuer le premier en corrigeant l'énoncé.

2) La conjecture de décomposition indiquée à la fin ne correspond pas à « tout nombre premier peut être décomposé comme la somme de trois produits ». Telle qu'elle est écrite, elle suggère que n'importe quel nombre entier se décompose en utilisant un triplet de nombres quelconques choisis préalablement.

3) Les nombres premiers ne sont pas les seuls à se décomposer de la sorte : par exemple avec (14,15,17), on a 14×15+14×17+15×17=703 qui n'est pas premier (car 703=19×37). Par ailleurs, tous les nombres premiers ne se décomposent pas comme indiqué : par exemple le nombre 13 ne correspond à aucun triplet. Il va donc falloir reconsidérer l'énoncé et/ou la portée de la « découverte ».

[Amanuensis]

Conjecture de décomposition. Soient , et trois nombres entiers positifs dont au plus un est pair. N'importe quel nombre premier peut être décomposé comme la somme .

Cela n'a pas grand sens écrit comme ça ! (Ou plutôt c'est trivialement erroné...)

Une hypothèse est que c'est plutôt

N'importe quel nombre premier peut être décomposé comme la somme , avec , et trois nombres entiers positifs dont au plus un est pair.

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour, que veux dire 10[p,p+1) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

Mais écrit comme je l'ai fait, c'est simple à démontrer (en excluant 3), il me semble :

Si p est de la forme 4k+1, alors (1,1,2k) marche

Si p est de la forme 8k+3, alors (3,1,2k)

Si p de la forme 16k+7, alors (7,1, 2k)

etc.

(et cela marche pour tout nombre impair à partir de 5 ; réciproquement cela ne peut pas être le cas des nombres pairs)

[taladris]

par exemple le nombre 13 ne correspond à aucun triplet

13 correspond au triplet (1,1,6).

[invite03f2c9c5]

Bonjour,

Pour communiquer avec d’autres, il faut essayer d’être clair, par exemple employer une rédaction et des notations standard. Dès le début de votre « conjecture de construction », vous écrivez : qu’est-ce que cela signifie ? Le symbole est utilisé pour la factorielle, mais on se doute que ce n’est pas ce que vous voulez dire… Je suppose que c’est une abréviation pour dire un et un seul (un peu comme signifie « il existe un unique »), mais ce n’est pas au lecteur de deviner ce que vous voulez dire. De même, que signifie « pour un donné » ? Faut-il lire à la place « il existe un entier tel que » ?

Vous donnez ensuite une liste de triplets dont vous affirmez qu’ils vérifient votre conjecture. Pourquoi cacher au lecteur (par des points de suspension) combien de triplets vous avez testés ? Jusqu’où est allée votre vérification ? Avec les outils informatiques dont on dispose aujourd’hui, ce n’est pas très difficile de tester un grand nombre de cas. Si j’ai bien compris votre conjecture, , et forment un contre-exemple facile à trouver (un seul est pair, ils n’ont pas de facteur commun puisque et sont premiers, et ils vérifient le troisième point pour ; pourtant ).

Enfin, qu’apportent vos schémas ? Quelle utilité leur donner en lien avec vos conjectures ? Tout le monde a compris que vous considériez les trois paires possibles qu’on peut former à partir de trois nombres, je ne vois pas en quoi représenter cela par les intersections de trois droites deux à deux sécantes apporte quoi que ce soit.

[Amanuensis]

Note : ne faut-il pas exclure le cas d'un des trois nombres à 0 ce qui n'est pas en clair (pas écrit "strictement positif"), simplement parce que c'est totalement trivial, avec (0, 1, p) ?

[invite6462dd6d]

Merci PA5CAL.
Concernant `1)' j'ai annoncé à la suit du poste original que la discussion se trouverait désormais ici.
A propos de `2)', je ne suggérais pas ce que vous dites car je ne m'intéresse qu'aux nombres premiers. Cette conjecture de décomposition, à part le fait que l'un des trois nombres, et au plus un peut être pair, est très incomplète. Si on prend un nombre premier quelconque, disons 131, et on cherche ... 131= 5x7+5x8+7x8.
Concernant `3)', vous avez raison sur le premier point, ce qui montre que la conjecture de construction est elle aussi incomplète. Il manque une ou plusieurs conditions supplémentaires. A propos de 13, en revanche, vous avez tort car la conjecture de décomposition n'exclut pas que l'un des nombre soit égal à 0. Alors 0x1+0x13+1x13 est la solution de la décomposition de 13.

[invite6462dd6d]

Si p:=0, alors 10[p,p+1)=10[0,1)=[0,10)
Si p:=1, alors 10[p,p+1)=10[1,2)=[10,20) ...

[invite6462dd6d]

Amanuensis : vous avez raison, comme je l'ai aussi indiqué à PA5CAL. Dans la conjecture de décomposition, je n'exclus pas 0. Je n'aurais donc pas du l'exclure de la conjecture de construction.
Merci.

[Amanuensis]

Amanuensis : vous avez raison, comme je l'ai aussi indiqué à PA5CAL. Dans la conjecture de décomposition, je n'exclus pas 0. Je n'aurais donc pas du l'exclure de la conjecture de construction.

C'est sans intérêt, alors, comme je l'ai indiqué.

(Et pour 13 on pouvait donner une solution autre que la triviale, comme indiqué explicitement par Taladris message #6, et implicitement message #5)

[Amanuensis]

Le cas exhibé par DSCH est un parmi une grande famille. En prenant (2k-1, 2k, 2k+1) k non multiple de 10, les conditions sont toutes vérifiées. La combinaison est alors 12k²-1, qui est un multiple de 11 si k = -1 modulo 11.

[PA5CAL]

13 correspond au triplet (1,1,6).

Alors il faut exclure le point (ii) "n'ont pas de dénominateur commun". Comme je le dis, il faut revoir l'énoncé.

[Amanuensis]

Alors il faut exclure le point (ii) "n'ont pas de dénominateur commun". Comme je le dis, il faut revoir l'énoncé.

?? Quel est le "facteur commun" à 1, 1 et 6 ??

Leur pgcd est 1, deux à deux, et c'est comme cela que je comprends, a maxima, (ii)

[Amanuensis]

Le cas exhibé par DSCH est un parmi une grande famille. En prenant (2k-1, 2k, 2k+1) k non multiple de 10

Correction : k non multiple de 5

[PA5CAL]

?? Quel est le "facteur commun" à 1, 1 et 6 ??

Leur pgcd est 1, deux à deux, et c'est comme cela que je comprends, a maxima, (ii)

Ok. Au temps pour moi.

[invite6462dd6d]

Je voulais vous remercier tous. A plus tard sur d'autres sujets un peu plus faciles .