exprimer un produit

[invite159cf21f]

Bonjour à tous,

je suis en train de faire un exo sur une suite de polynome, mais je bloque sur une question qui ne devrait pourtant pas être si terrible...

j'ai trouvé grâce aux question précédente que le polynome P_n(x) est définit pas la relation de récurrence suivante:

P_n+1(x) = P'_n(x) . (1-x²) - P_n(x)(-2n-1).x
(P'(x) étant la dérivé de P(x) )

j'ai réussis à prouver que P_n(1) = "produit de k= 0 à n-1" (2k+1) (je ne sais pas comment faire le grand pi, le signe du produit)


et c'est là que je bloque, on me demande d'en déduire une expression de P_n(1) qui fait intervenir (2n)!, (n)! et 2ⁿ...

je ne vois vraiment pas comment faire !
quelqu'un aurait une idée ?

Merci d'avance pour vos réponses
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[Seirios]

Bonjour,

Une astuce classique est d'écrire .

[invite159cf21f]

Hmmm... Donc si je ne me trompe pas on arrive à :


[(2ⁿ.(n)!)/ (2n)!]. "produit de k=0 à n-1" 2k+1 ?

je ne suis vraiment pas sûr du résultat et je ne vois pas trop ce qu'il apporte de plus...

En tout cas merci pour cette astuce même si je ne vois pas trop où elle aboutit pour le moment ^^

[invite51d17075]

j'ai trouvé grâce aux question précédente que le polynome P_n(x) est définit pas la relation de récurrence suivante:

P_n+1(x) = P'_n(x) . (1-x²) - P_n(x)(-2n-1).x
(P'(x) étant la dérivé de P(x) )

j'ai réussis à prouver que P_n(1) = "produit de k= 0 à n-1" (2k+1) (je ne sais pas comment faire le grand pi, le signe du produit)


et c'est là que je bloque, on me demande d'en déduire une expression de P_n(1) qui fait intervenir (2n)!, (n)! et 2ⁿ...
)

tu es sur de ton équation ?
qui fait disparaitre la partie en p' si x =1 !!
ça semble trop simple.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Hmmm... Donc si je ne me trompe pas on arrive à :


[(2ⁿ.(n)!)/ (2n)!]. "produit de k=0 à n-1" 2k+1 ?

Je dirais plutôt l'inverse, la puissance de 2 va être au dénominateur.

je ne suis vraiment pas sûr du résultat et je ne vois pas trop ce qu'il apporte de plus...

Cela permet simplement d'avoir une expression plus sympathique.

[invite159cf21f]

tu es sur de ton équation ?
qui fait disparaitre la partie en p' si x =1 !!
ça semble trop simple.

oui je suis sûr que l'expression est bonne j'ai de quoi la vérifier et elle marche



hmm oui c'est vrai c'est mieu avec la puissance de 2 au dénominateur
merci en tout cas !