loi normale

[kaderben]

Bonjour
Il s'agit de la loi normale
Dans le cours:
X suit une loi normale centrée, notation: N(0,1) espérance= 0, ecart type =1
X suit une loi normale, notation: N(m,sigma²) espérance =m, variance =sigma²
Si Y=(X-m)/sigma alors Y suit la loi normale centrée N(0;1)

Enoncé:
Une variable X suit la loi normale N(1500;100)
donc m=1500 et sigma²=100
question: déterminer les lois des variables suivantes:
(X-10)/100 , (X-1500)/100

correction:
a) la variable aléatoire (X-10)/100 suit la loi N(14,9;1/100)
b)la variable aléatoire (X-1500)/100 suit la loi N(0;1/100)

pour retrouver ces résultats:
Je pars de Y=(X-10)/100
Pour t réel, P(Y<t) = p((X-10)/100 <t)=p(X<100t+10)
puis est ce un bon départ ou du n'importe quoi, je ne sais pas

Merci pour vos commentaires
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[gg0]

Bonsoir.

Une conséquence évidente de la défintion (X suit N(m,s²) si et seulement si (x-m)/s suit N(0,1) est que si X suit N(m,s²) alors pour a non nul, aX+b suit la loi N(am+b,a²s²). C'est un excellent exercice de le démontrer. En utilisant seulement la définition.

Application immédiate à ton exercice.

Cordialement.

[kaderben]

Bonjour
En première on démontre facilement les propriétés de la moyenne et de la variance d'une série statistique quelconque:
Soit X une série statistique de valeurs x1,x2,..,xn de moyenne m et de variance s²
Si a non nul, alors la série aX+b a pour moyenne am+b et pour variance a²s²

Dans le cas qui nous préoccupe, X est une variable aléatoire normale.
à partir de de la défintion: (X suit N(m,s²) si et seulement si (x-m)/s suit N(0,1), démontrer:
si X suit N(m,s²) alors pour a non nul, aX+b suit la loi N(am+b,a²s²), non, je ne vois pas.

[gg0]

C'est pourtant quasiment évident !
Si Y=aX+b, quelle loi suit (Y-(am+b))/(|a|s) ?

Il y a juste une subtilité : Si X suit N(0;1) alors -X suit N(0;1). En effet la loi de X est paire.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[kaderben]

Si Y=aX+b, quelle loi suit (Y-(am+b))/(|a|s) ?

(Y-(am+b))/(|a|s) = (aX+b-(am+b))/IaIs = (Xa-am)/IaIs=a(X-m)/IaIs
si a>0, (Y-(am+b))/(|a|s)=(X-m)/s qui suit N(0;1)

si a<0, (Y-(am+b))/(|a|s)=-(X-m)/s qui suit N(0;1)

donc Y suit N(am+b;a²s²)

Mais Y=aX+b, X=(Y-b)/a et alors je suis un peu perdu pour conclure!

[gg0]

Je ne te comprends pas !

Tu as écrit la conclusion, donc tu n'es pas embêté pour conclure ... tu fais autre chose, je ne sais pas pourquoi. Le problème était bien de démontrer "si X suit N(m,s²) alors pour a non nul, aX+b suit la loi N(am+b,a²s²)"et tu l'as fait. Il n'y a pas besoin de calculer X.

[kaderben]

J'étais un peut perdu. C'est la première fois que j'aborde ce genre de calcul qui ne se trouve ni dans le cours ni dans un exemple.
Merci pour tout.