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loi normale




  1. #1
    kaderben

    loi normale

    Bonjour
    Il s'agit de la loi normale
    Dans le cours:
    X suit une loi normale centrée, notation: N(0,1) espérance= 0, ecart type =1
    X suit une loi normale, notation: N(m,sigma²) espérance =m, variance =sigma²
    Si Y=(X-m)/sigma alors Y suit la loi normale centrée N(0;1)

    Enoncé:
    Une variable X suit la loi normale N(1500;100)
    donc m=1500 et sigma²=100
    question: déterminer les lois des variables suivantes:
    (X-10)/100 , (X-1500)/100

    correction:
    a) la variable aléatoire (X-10)/100 suit la loi N(14,9;1/100)
    b)la variable aléatoire (X-1500)/100 suit la loi N(0;1/100)

    pour retrouver ces résultats:
    Je pars de Y=(X-10)/100
    Pour t réel, P(Y<t) = p((X-10)/100 <t)=p(X<100t+10)
    puis est ce un bon départ ou du n'importe quoi, je ne sais pas

    Merci pour vos commentaires

    -----


  2. Publicité
  3. #2
    gg0

    Re : loi normale

    Bonsoir.

    Une conséquence évidente de la défintion (X suit N(m,s²) si et seulement si (x-m)/s suit N(0,1) est que si X suit N(m,s²) alors pour a non nul, aX+b suit la loi N(am+b,a²s²). C'est un excellent exercice de le démontrer. En utilisant seulement la définition.

    Application immédiate à ton exercice.

    Cordialement.

  4. #3
    kaderben

    Re : loi normale

    Bonjour
    En première on démontre facilement les propriétés de la moyenne et de la variance d'une série statistique quelconque:
    Soit X une série statistique de valeurs x1,x2,..,xn de moyenne m et de variance s²
    Si a non nul, alors la série aX+b a pour moyenne am+b et pour variance a²s²

    Dans le cas qui nous préoccupe, X est une variable aléatoire normale.
    à partir de de la défintion: (X suit N(m,s²) si et seulement si (x-m)/s suit N(0,1), démontrer:
    si X suit N(m,s²) alors pour a non nul, aX+b suit la loi N(am+b,a²s²), non, je ne vois pas.


  5. #4
    gg0

    Re : loi normale

    C'est pourtant quasiment évident !
    Si Y=aX+b, quelle loi suit (Y-(am+b))/(|a|s) ?

    Il y a juste une subtilité : Si X suit N(0;1) alors -X suit N(0;1). En effet la loi de X est paire.

    Cordialement.

  6. #5
    kaderben

    Re : loi normale

    Si Y=aX+b, quelle loi suit (Y-(am+b))/(|a|s) ?

    (Y-(am+b))/(|a|s) = (aX+b-(am+b))/IaIs = (Xa-am)/IaIs=a(X-m)/IaIs
    si a>0, (Y-(am+b))/(|a|s)=(X-m)/s qui suit N(0;1)

    si a<0, (Y-(am+b))/(|a|s)=-(X-m)/s qui suit N(0;1)

    donc Y suit N(am+b;a²s²)

    Mais Y=aX+b, X=(Y-b)/a et alors je suis un peu perdu pour conclure!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    gg0

    Re : loi normale

    Je ne te comprends pas !

    Tu as écrit la conclusion, donc tu n'es pas embêté pour conclure ... tu fais autre chose, je ne sais pas pourquoi. Le problème était bien de démontrer "si X suit N(m,s²) alors pour a non nul, aX+b suit la loi N(am+b,a²s²)"et tu l'as fait. Il n'y a pas besoin de calculer X.

  9. #7
    kaderben

    Re : loi normale

    J'étais un peut perdu. C'est la première fois que j'aborde ce genre de calcul qui ne se trouve ni dans le cours ni dans un exemple.
    Merci pour tout.

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