les matrices

[bac30]

Bonjour, voici mon problème,

Soit A une matrice antisymétrique de C^n,n inversible donc A^T=-A et (I_n - A) inversible.
Monter que la matrice B:= (I_n + A)(I_n - A)^-1 satisfait B^T=B^-1

Donc
B^T=((I_n + A) (I_n - A)^-1)^T

=(I_n - A)^{-1 T} (In + A)^T

=(I_n - A)^{T -1} (I_n + A)^T

=(I_n + A)^-1 (I_n - A)


B^-1 = ((I_n+A)(I_n-A)^-1)^-1

= (I_n - A)^-1-1 (I_n+A)^-1

= (I_n-A) (I_n+A)^-1
c'est là que je ne comprends pas, comment puis-je prouver que (I_n+A) est inversible car sans ça je ne peux pas écrire (I_n+A)^-1 ?

De plus le produit de matrices n'étant pas commutatif, comment montrer que B^T=B^-1 ?


Merci d'avance
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[gg0]

Bonjour.

Tu l'as pourtant déjà écrit dans le calcul de B^T.

Cordialement.

[bac30]

Oui je sais mais j'ai juste fait le calcul là pour vous montrer où j'en étais mais je dois justifier car rien me dit que (I_n + A) est inversible,

et je me demande aussi comment prouver B^T= B^-1 puisque le produit de matrice n'est pas commutatif.

[gg0]

Sauf erreur de ma part, si une matriced est inversible, sa transposée l'est.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[bac30]

MAAAAAAAAAA QUEEEEEEEEEEE quel con ^^ à force de chercher compliqué je ne regarde pas l'évidence ^^