les application linéaires et les matrices

[amal20]

bonsoir
je suis bloquée dans un exo de DS et je veux quelqu'un m'aider

on considère l'application f R[X] vers R[X] définie par f(P)=((x^2 - 1)P')' ou P' la derivée de P
1)montrer que f est linéaire et induit un endomorphisme sur Rn[x] qu'on note fn
2) Ecrire la matrice de fn dans la base canonique de Rn[x] B=(1,X^2,X^3......X^n)
3)determiner les valeurs propres de fn et deduire que fn est diagonalisable
j'ai fais la premiere partie de la question 1 mais la 2eme partie je sais pas comment faire
pour la deuxieme question j'ai essayé de faire mais je sais pas est_ce que c'est juste

f(1) f(X) f(x^2) f(x^n)
0 0 -2 -3 -4 .......... -n
0 2 0 0 0 ......... 0
0 0 6 9 12 ........ 3n
0 0 0 0 0 .........; 0
et les autres coefficient sont egales à 0
et merciii
-----

[gg0]

Bonsoir.

Pour la première question, il suffit de montrer que si P est dans Rn[X], alors f(P) aussi.

Cordialement.

[amal20]

ouiiii ok merci
et pour la deuxieme question ce que j'ai fait est-ce qu'il est juste ?

[ericcc]

Non ce n'est pas bon. Que vaut f(X) ? et f(X²) ? Et f(X^n) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[amal20]

oui je me suis trompée dans le calcul
la matrice va etre comme ça
f(1) f(X) f(x^2) f(x^3) f(x^4) .......... f(x^n)
0 0 -2 0 0 ..............
0 2 0 -6 0 ................
0 0 6 0 -12 ..................
0 0 0 12 0
0 0 0 0 20

donc le polynome caractéristique vaut -X (2-X) (6-X) (12-X)................

alors les valeurs propres sont les elements du diagonale et puisque on n valeurs propres et dim =n
donc est trigonalisable
mais la question 4) je sais pas comment faire
4) on note par V0<V1< .......<Vn les valeurs propres de fn
demontrer que pour tout k appartient à{1,2......n} il existe un unique polynome unitaire Pk de degre k tel que
fn (Pk)=Vk Pk

[Blead]

Bonsoir,

Pour la 3, montre surtout que toutes les valeurs propres sont distinctes et qu'il y en a n=dim Rn[X], car l'énoncé te dis de diagonaliser la matrice.

[amal20]

est ce que tu veux dire que
comme la matrice est diagonalisable et les valeurs propres sont distincts alors Kn[X] est somme directe
des sous espaces propres donc pour tous valeur propre il existe un unique polynôme de degre k
tel que fn (Pk)= Vk Pk

[ericcc]

oui je me suis trompée dans le calcul
la matrice va etre comme ça
f(1) f(X) f(x^2) f(x^3) f(x^4) .......... f(x^n)
0 0 -2 0 0 ..............
0 2 0 -6 0 ................
0 0 6 0 -12 ..................
0 0 0 12 0
0 0 0 0 20

donc le polynome caractéristique vaut -X (2-X) (6-X) (12-X)................

alors les valeurs propres sont les elements du diagonale et puisque on n valeurs propres et dim =n
donc est trigonalisable
mais la question 4) je sais pas comment faire
4) on note par V0<V1< .......<Vn les valeurs propres de fn
demontrer que pour tout k appartient à{1,2......n} il existe un unique polynome unitaire Pk de degre k tel que
fn (Pk)=Vk Pk

f(X) n'est pas égal à 2X...

[amal20]

pourqoi f(x)=2X j'ai refais le calcul et je trouve 2x

[ericcc]

Si P=X, P'=1 et (X²-1)P'=X²-1, non ?

[amal20]

nn on a f(P)=((X^2-1)P')'

[ericcc]

Au temps pour moi : je n'avais pas vu le 2eme ' !!

[amal20]

en tous cas merciii