Convergence uniforme suite de fonction

[invite5ffffaa4]

Bonjour,

Quelqu'un pourrait'il me donner des éléments de réponses pour ceci:

J'ai une suite de fonction définie par:

J'aimerais étudier la convergence uniforme de cette suite de fonction sur [0;+inf[

La suite converge simplement vers la fonction x->0 sur [0;+inf[.

J'ai réussi a démontrer la NON convergence uniforme sur [0;+inf[ en étudiant les variation de |fn(x)|.

J'aimerais maintenant trouver s'il existe un intervalle sur lequel ma suite converge.

Si on pose x>=a>0 alors pour n assez grand on aura sup|fn(x)|= sur [a,+inf[

Puis je en conclure que ma suite converge uniformément? a priori je dirais que oui puisque sup|fn(x)| converge vers 0 quelque soit n.

Mais est t'il possible de montrer la convergence uniforme en majorant |fn(x)| par une suite qui converge vers 0 ?

Merci pour toute aide
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[inviteaf1870ed]

Ta fonction admet un maximum en X0=(e-1)/n, avec fn(X0)=1/e. Elle ne peut donc converger uniformément vers 0. Par contre si X>e-1 par exemple tu peux y arriver.

[invite5ffffaa4]

Merci pour cette indication, mais, j'ai deux questions, comment avez vous trouver ce x>e-1 et la deuxieme,, j'ai beau essayer je n'arrive pas a majorer la fonction,, pourrais je avoir une autre indication Merci

[inviteaf1870ed]

Dérive la fonction, trouve le maximum...
comme il est atteint en X0=(e-1)/n,il suffit de prendre e-1 et pour n>1 le maximum sera en dehors du domaine de définition.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5ffffaa4]

oui ça je le disais dans le post de départ que j'arrive a démontrer la convergence uniforme en étudiant la fonction,, mais moi ce qui m'intéresser c'était de le démontrer en majorant la valeur absolue de la fonction par une suite qui ne dépend pas de x. :/

[inviteaf1870ed]

un indice : ta fonction est décroissante

[invite5ffffaa4]

Ok,,

puisque x>e-1

On a :

qui tend bien vers 0 quand n tend vers l'infini.

Mais je ne vois toujours pas comment vous avez trouver qu'il fallait que x>e-1.

Ca aurais pu marcher avec a >0

[inviteaf1870ed]

oui bien sur car (e-1)/n est plus petit que n'importe quel a à partir d'un rang n donné.
Mais comme ça on pouvait être sur que toutes les fonctions fn seraient plus petite que ta suite à partir de n=1

[invite95c5cd5f]

il y a un probleme pour moi bagnolet: on dit que f est definie sur 0 +infinie ça veut dire que n est >0 mais ça je le vois pas.

[invite5ffffaa4]

f est définie sur [0, +inf[ il s'agit de x,, et pas de n,, n se rattache a la suite de fonction. je ne vois pas de quel problème tu parles.

[invite95c5cd5f]

si n est inférieure à 0, f n'est pas définie, je parle de ça avec Df

[Seirios]

Il est sous-entendu que n est entier naturel. Lorsque tu parles d'une suite , on comprend usuellement que n est un entier positif.

[invite5ffffaa4]

J'avais une autre suite de foncton a vous soumettre,, si ce n'est pas trop demandé,,:/

mais j'amierais montrer la convergence uniforme sur R de la suite de fonction fn(x)=x.e^(-nx^2)

la fonction est impaire donc je crois qu'il suffit d'étudier la convergence uniforme sur R+.

J'aimerais le démontrer en utilisant une majoration par une suite qui ne dépend pas de x.

Quelqu'un aurait une idée?

Merci.

[Seirios]

En étudiant la fonction, tu dois bien trouver un maximum sur , non ?

[invite5ffffaa4]

oui, j'y suis arriver en étudiant la fonction on trouve pour le sup: 1/sqrt(2ne) qui tend bien vers 0.
Mais je souhaitais démontrer la convergence uniforme en passant par une majoration uniforme.

[inviteaf1870ed]

Je ne comprends pas ce que tu cherches : puisque le sup tend vers zéro, la fonction constante égale au sup majore bien ta fonction ...

[invite5ffffaa4]

Ma question est la suivante: est t'il possible de prouver la convergence uniforme en passant par une autre "méthode",
autre que celle qui consiste à dériver et étudier les variations de la fonction,
cette autre méthode c'est majorer |(fn-f)(x)| par une suite indépendante de x qui tend vers 0.

est ce possible par tatonement de trouver une majoration de |(fn-f)(x)|?

[inviteaf1870ed]

Par définition ta suite indépendante de x doit être plus grande que le sup de fn...il te faudra de toutes façons passer par cette étape. Alors soit tu connais un majorant de ta fonction, qui tend vers zéro avec n de surcroit, soit tu fais une étude de fonction.

Comme disait le regretté Bobby Lapointe "Le violon, soit tu joues juste, soit tu joues tzigane"

[invitef3414c56]

Bonsoir,
Est-ce ce type d'argument que vous souhaitez ?
On a \exp(u)>=1+u pour $u>=0$, donc \exp(u)>=u, et par suite \exp(2nx^2)>=2nx^2 pour x>=0 et n>=1. Ceci implique 0<=x^2\exp(-2nx^2)<=1/2n, et on prend la racine carrée.

Cordialement.

[inviteaf1870ed]

Oui je crois que ça marche

[invite5ffffaa4]

Merci Jedoniuor, c'est magnifique.