les application linéaires

[invitebcc897db]

bonjour
j'ai un exo sur les applications linéaires j'ai fait toutes les questions mais je suis bloqué dans la derniere question
soit u : R^2 R^3 tel que u(e1+e2)=f1+2f2+f3 et U(e1-e2)=f2+f3 avec(e1,e2) la base canonique de R^2
et(f1,f2,f3) celle de R^3
determiner ker U et calculer une base de ImU
l'application linéaire u est elle injective ?bijective ?
l'application V :R^2 Imu définie par v(x)=u(x) montrer que u est bijective
cette derniére question que je savais pas comment je vais faire
et merci d'avance
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[invited5b2473a]

Tu vas d'une dimension 2 vers une dimension 3 donc tu ne peux pas etre bijective. Tu montres l'injectivite et comme

[invitebcc897db]

j'ai pas compris qu'est-ce que vous voulez dire ?

[invited5b2473a]

Ton application ne peut pas etre bijective mais quand tu restreint l'ensemble d'arrivee a l'ensemble image, alors elle est necessairement surjective. Et comme tu as montre qu'elle est injective...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebcc897db]

pourquoi u n'est pas bijectif ?
il est injectif et d'apres la question qui demande de calculer une base de imU on trouve que dim R^3=dim imu
et puisque imu sous espace vectoriel de R^3 donc imu=R^3 alors il est surjectif et donc bijectif

[invite0a45097e]

Bonsoir.
Un théorème affirme qu'une application linéaire u est bijective si et seulement si l'image de la base de l'espace de départ constitue une base de l'espace d'arrivée. Donc il est nécessaire que les deux espaces ont même dimension. Ce qui n'est pas ton cas. Tu as du faire une erreur en calculant dim Im u

[invitebcc897db]

tu peux me repondre à la question precedente
calculer une base de imu ?

[inviteaf1870ed]

pourquoi u n'est pas bijectif ?
il est injectif et d'apres la question qui demande de calculer une base de imU on trouve que dim R^3=dim imu
et puisque imu sous espace vectoriel de R^3 donc imu=R^3 alors il est surjectif et donc bijectif

Si u est surjective, quel est l'antécédent de f1 ?

[invitebcc897db]

vraiment je sais pas !!!!

[inviteaf1870ed]

Si ta fonction est surjective comme tu l'affirmes il doit exister, pourtant...

[invitebcc897db]

oui tu as raison alors quelle est la base de imu ?

[invite0a45097e]

Im u = Vect( u(e₁), u(e₂) ) ... avec les équations de u(e₁+e₂) et u(e₁-e₂) tu trouveras u(e₁) et u(e₂) en fonction de f₁, f₂, f₃. Deux vecteurs et non trois donc. Ils forment soit un plan soit une droite de IR³.
A savoir si c'est l'un ou l'autre, il faut savoir si u(e₁) et u(e₂) forment une base de Im u, il te suffit de regarder s'ils sont linéairement indépendants. Tu auras alors dim Im u.

[invitebcc897db]

ok merciii