Exercice application linéaires (espaces vectoriels)

inviteaa29bb00 · 12/03/2011, 10h52

Bonjour!
Voilà j'ai un exercice à faire, et je dois dire que j'ai du mal...

ENONCE:Détermination des fonctions $\text{[math]}$ telles que
pour tout $\text{[math]}$

1)On ne suppose pas dans ces questions que $\text{[math]}$ est continue.

a-Deduire de $\text{[math]}$ la valeur de $\text{[math]}$
b-Demontrer que: pour tout $\text{[math]}$
c-Dem q : pr tt $\text{[math]}$ , pr tt $\text{[math]}$
d-En deduire de a et b que : pr tt $\text{[math]}$ . Qu'en deduit t'on?

REPONSES

1)a- $\text{[math]}$

b-J'ai prouvé ça en notant $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

c- Il me semble que l'on peut utiliser une récurrence, mais je ne vois pas comment l'initialiser...

d- Comme $\text{[math]}$ et non à $\text{[math]}$ , je bloque. En plus, je ne vois pas comment utiliser $\text{[math]}$
On en déduit que $\text{[math]}$ est impaire.

Merci d'avance pour votre aide!

**Seirios** · 12/03/2011, 11h17

Bonjour,

Envoyé par Morgane01430

1)a- $\text{[math]}$

Pas de problème.

b-J'ai prouvé ça en notant $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Pourquoi notes-tu $\text{[math]}$ alors que tu pourrais simplement écrire $\text{[math]}$ ? Cela dit, tu utilises implicitement la relation $\text{[math]}$ , qui se montre facilement par récurrence, et dans ce cas, tu peux simplement dire que $\text{[math]}$ .

c- Il me semble que l'on peut utiliser une récurrence, mais je ne vois pas comment l'initialiser...

C'est la même chose : $\text{[math]}$ .

d- Comme $\text{[math]}$ et non à $\text{[math]}$ , je bloque. En plus, je ne vois pas comment utiliser $\text{[math]}$
On en déduit que $\text{[math]}$ est impaire.

Je te mets sur la voie : que peux-tu dire de $\text{[math]}$ ?

inviteaa29bb00 · 12/03/2011, 13h30

1)b-J'ai écris $\text{[math]}$ car quand on ecrit $\text{[math]}$ , les variables définies dans la somme ne sont pas présentes, non?

Je suis tout à fait d'accord que $\text{[math]}$ mais je ne peux pas écrire ça, ce n'est pas "mathématiquement rigoureux" (qui a inventé les points de suspension?

)

1)c- Il faut que je montre par récurrence que $\text{[math]}$ , c'est ça?

d-J'ai compris:
$\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$

**Seirios** · 13/03/2011, 10h58

Envoyé par Morgane01430

1)b-J'ai écris $\text{[math]}$ car quand on ecrit $\text{[math]}$ , les variables définies dans la somme ne sont pas présentes, non?

k ne doit pas être nécessairement écrit dans l'expression, ce n'est pas gênant.

Je suis tout à fait d'accord que $\text{[math]}$ mais je ne peux pas écrire ça, ce n'est pas "mathématiquement rigoureux" (qui a inventé les points de suspension?

)

Les points de suspension permettent d'éviter un raisonnement par récurrence lorsque ce dernier est évident (il ne faut cependant pas en abuser, cela peut amener à de faux raisonnements si l'on fait n'importe quoi).

1)c- Il faut que je montre par récurrence que $\text{[math]}$ , c'est ça?

Tu dois montrer par récurrence que pour tout n, f(nx)=nf(x). Le raisonnement est strictement identique au précédent (d'ailleurs, tu retrouves le résultat avec x=1).

d-J'ai compris:
$\text{[math]}$
Donc $\text{[math]}$

C'est ça.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

inviteaa29bb00 · 13/03/2011, 13h28

Je peux donc écrire $\text{[math]}$

**Seirios** · 13/03/2011, 13h46

Cela dépend de ce que tu as déjà démontré : si tu as montré que $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$ et pour tout n, alors oui, sinon démontre directement le résultat que tu cherches par récurrence.
Cela dépend également des détails que l'on te demande : il arrive que les démonstrations simples par récurrence puisse ne pas être rédigées sans que cela ne dérange personne.

inviteaa29bb00 · 13/03/2011, 15h48

J'ai d'autre question qui me pose problème:

ENONCE

e-En deduire que: pour tout $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$

f-Demontrer que: pour tout $\text{[math]}$ (calculer $\text{[math]}$ )

g-Demontrer que: pour tout $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

REPONSES

e- J'ai utilisé une réccurrence avec $\text{[math]}$ pour l'hérédité, en montrant que $\text{[math]}$

f- $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ car $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

g-Là, j'ai du mal. Est ce que je peux utiliser une reccurrence en me servant de la question f dans l'initialisation?

inviteaa29bb00 · 13/03/2011, 16h07

J'ai d'autre question qui me pose problème:

ENONCE

e-En deduire que: pour tout $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$

f-Demontrer que: pour tout $\text{[math]}$ (calculer $\text{[math]}$ )

g-Demontrer que: pour tout $\text{[math]}$ , pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$

2)On suppose alors que $\text{[math]}$ est continue sur $\text{[math]}$ .
Déduire de la question f- que: pour tout $\text{[math]}$
Rappel:tout réels est la limite d'une suite de rationnels.

3)Reconnaitre alors $\text{[math]}$

REPONSES

e- J'ai utilisé une réccurrence avec $\text{[math]}$ pour l'hérédité, en montrant que $\text{[math]}$

f- $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ car $\text{[math]}$

Donc $\text{[math]}$

g-Là, j'ai du mal. Est ce que je peux utiliser une reccurrence en me servant de la question f dans l'initialisation?

2)Je n'ai aucune idée de comment procéder.

3) Je dirais par intuition que $\text{[math]}$ est l'ensemble des fonctions impaire, mais j'ai un gros doute.

**Seirios** · 13/03/2011, 19h38

Envoyé par Morgane01430

g-Là, j'ai du mal. Est ce que je peux utiliser une reccurrence en me servant de la question f dans l'initialisation?

C'est une conséquence directe des deux questions précédentes, non ?

2)Je n'ai aucune idée de comment procéder.

Il suffit d'écrire les choses : soit un réel x et $\text{[math]}$ une suite de rationnels tendant vers x, alors comme f est continue et que pour tout n $\text{[math]}$ , tu en déduis que $\text{[math]}$ .

3) Je dirais par intuition que $\text{[math]}$ est l'ensemble des fonctions impaire, mais j'ai un gros doute.

En notant a=f(1), tu as $\text{[math]}$ , cela ne te rappelle pas quelque chose ?

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