Exercice application linéraire et polynome, réciproque d'un automorphisme de Rn[X]

[invite94d76263]

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre le problème suivant.

Soit E l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à 3. On désigne par "f " l'application qui à un polynôme P de E associe le polynôme f (P) défini par : f (P) = P(X+1)+P(X)

Il faut démontrer que "f " est un automorphisme de E, ce que j'ai fait.
Mais il me faut maintenant déterminer son application réciproque : pour tout polynôme P(X) = a0 +a1X + a2X² +a3X^3, expliciter le polynôme Q = f^-1(P) en fonction de a0,a1,a2,a3.

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite332de63a]

Bonjour,

On sait qu'un morphisme est définit par les images des éléments de la base alors cherche les images des éléments de la base ici : 1,X,X² et X^3 et ensuite essaye d'inverser la fonction grâce à cela en donnant les images réciproque de 1,X,X² et X^3

RoBeRTo

[invite94d76263]

Merci Roberto.
ca fonctionne ça :

Q = f^-1 P
-> f Q = P
-> Q(X+1) + Q(X) = P(X)
-> Q(X) = P(X) - Q(X+1)
+ identification des coefficients en choisissant Q(X) d'une certaine façon.

?