theoreme de projection sur un convexe fermé

[invite9e5012bb]

Bonjour , voila j'ai pas idée comment trouver la solution de cette exercice quelqu'un peut il me donner des indications :

Soit H un espace de hilbert :
determininer:
1) La projection sur le segment [0,e] ou e est un vecteur unitaire de H
2)La projection sur la boule unité fermée de H

Soit C une partie convexe fermée non vide de H. notons Pc la projection sur C

3) montrer que quelquesoit x,y dans H ||Pc(x)-Pc(y)||<= ||x-y|| (<= inferieur ou égal)
4)montrer que , si F est un sous espace vectoriel fermé de H contenant C, on a Pc o Pf = Pc
5) Donner un exemple de deux fonctions convexes fermés C et C' pour lequels on a C inclus dans C' et Pc o Pc' différent Pc (utiliser 1 et 2)

Voila la seule que j'ai reussi a faire est la question 3 pour la 1, 2 jai pas d'idée comment attaqué le probleme jai essayer en utilisant le fait que Pc est l'unique point vérifiant Pc(x) apartient a F et
x-Pc(x) apartient a F orthogonal mais jai rien trouver, de plus jai du mal a calculer l'espace orthonale car on a pas de produit scalaire bien définie . merci d'avance pour votre aide
-----

[inviteea028771]

Voila la seule que j'ai reussi a faire est la question 3 pour la 1, 2 jai pas d'idée comment attaqué le probleme jai essayer en utilisant le fait que Pc est l'unique point vérifiant Pc(x) apartient a F et
x-Pc(x) apartient a F orthogonal mais jai rien trouver, de plus jai du mal a calculer l'espace orthonale car on a pas de produit scalaire bien définie .

La projection (dans ce cadre) ne peut pas avoir cette propriété là. Ne serrait-ce que parce que l'orthogonal de la boule unité est {0} et donc que ton point Pc(x) n'existe pas si x est en dehors de la boule.


Ici la projection du point x sur le convexe fermé C est le point p(x) de C qui vérifie :



Autrement dit, le point de C le plus près de x (on a un théorème qui nous dit qu'il est unique)

[invite9e5012bb]

merci mais je sais pas du tout comment attaqué la question (question 1 et 2) , sachant que l'on doit faire le calcul de façon générale (norme inconnue) , sinon determiner la projection , c'est à dire l'ensemble ou vont etre projeter les point en dehors de C ? par exemple pour la boule unité il me semble qu'il s'agit du disque unité mais pour [0,e] merci d'avance

[thepasboss]

Bonsoir,

pense d'abord au cas de R² muni du produit scalaire usuel et regarde un peu comment ça se passe.

Ca devrait te donner des idées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9e5012bb]

Rebonjour voila j'ai essayer dans R2 avec le produit scalaire usuelle et on trouve que la projection sur [0,e] est le segment lui meme et pour la boule unité il sagit de la sphere (le contour de la boule) c'est bien ça ? bref j'ai quand meme du mal a prouvez cela de maniere calculatoire et de maniere génerale merci de votre aide à l'avance

[invite54165721]

Question 2:
dans la boule la projection est l'identité et pour M exterieur à la boule B ça le projette sur l'intersection de B avec la demi droite OM
question 3:
tu peux utiliser comme construction intermédiaire les projections orthogonales de x y sur la droite joignant Pc(x) à Pc(y)