Partie respectant une fonction croissante.

[Turgon]

Bonjour. Je me posait cette petite question de théorie des ensembles qui me donne du fil à retordre:

Soit (E,<) un ensemble totalement ordonné et f une fonction croissante de E dans E. On suppose que pour tout x dans E il existe y dans E tel que f(y) est inférieur ou égal à x.

On peut aussi supposer (mais ça ne sert peut-être à rien) que l'ordre a la propriété de la borne supérieure et inférieure (toute partie admet un plus grand minorant et un plus petit majorant).

Question: Existe-t-il une partie F de E qui soit cofinale (pour tout x dans E il existe y dans F tel que y est inférieur ou égal à x) et vérifie aussi: Pour tout x,y dans F, si x est inférieur ou égal à y alors f(x) est inférieur ou égal à y.

Merci d'avance pour vos réponses.
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[Turgon]

Désolé pour ce doublon mais en fait j'ai trouvé la réponse par moi même en utilisant le principe de maximalité de Haussdorff

Considérons la relation xRy ssi (x=y ou f(x) est inférieur ou égal à y). On peut prouver que R est une relation d'ordre non totale en général. Le principe de maximalité prouve alors l'existence d'une chaine maximale pour R (c-à-d d'une partie totalement ordonnée pour R qui n'est strictement contenue dans aucune autre partie totalement ordonnée pour R) et une telle partie vérifie bien les conditions demandées.

Sinon une autre petite question: peut-on démontrer que tout ensemble ordonné possède une chaine cofinale sans utiliser l'axiome du choix ou quelque chose d'équivalent comme je l'ai fait ici ?

Merci d'avance pour vos réponses ^^.

[Médiat]

Sinon une autre petite question: peut-on démontrer que tout ensemble ordonné possède une chaine cofinale sans utiliser l'axiome du choix ou quelque chose d'équivalent comme je l'ai fait ici ?

Pour une chaine cofinale, cela me paraît faux, il suffit de prendre comme ensemble ordonné avec comme relation d'ordre

[Turgon]

Oui merci Médiat vous avez raison.
En fait la raison pour laquelle je pose cette question est la suivante: Pour prouver un théorème bizarre que j'ai inventé, mais qui n'a aucun rapport avec tout ceci, il aurait été bon que pour tout espace uniforme (ensemble E munit d'une structure uniforme d'entourages sur ExE) soit tel qu'il admette une base d'entourage totalement ordonné par l'inclusion ou si l'on veut (il me semble que c'est équivalent ou presque) que sa topologie induite soit localement à base totalement ordonnée par l'inclusion.

Une telle base d'entourage aurait été une chaine cofinale pour l'ordre donné par l'inclusion et alors si j'aurais pris comme fonction f celle qui à un entourage V associe V*V*V (* désignant l'espèce d'opération bizarre dont on se sert dans l'axiomatique des entourage) j'aurais pu en déduire l'existence d'une chaine cofinale pour l'inclusion telle que pour tout entourages V, V' dans cette chaine, (V c V') implique (V*V*V c V') et j'aurais même pu en trouver une bien ordonnée, ce qui m'aurait permis de résoudre mon théorème.

Mais bon même si de nombreux espace uniforme admettent une base d'entourage totalement ordonnée par l'inclusion, je me doute qu'il y en a qui n'en admettent pas, même si je n'en connais pas. Quelqu'un en a-t-il déjà rencontré?

J'ai commencé un article en anglais qui explique entre autres trucs théoriques compliqué, certaines conditions suffisantes pour qu'un ensemble ordonné admette des chaines cofinales, (indivisibility etc...) mais aucune ne semble être vérifiée par les espaces uniformes en toute généralité, d'où mon doute.

Merci d'avance pour vos éclaircissements.

[A voir en vidéo sur Futura]