projection orthogonale sur un sous-espace fermé

[inviteabe6341d]

Bonjour,
Soit muni du produit scalaire .

On pose .


1) Montrer que M est un sous-espace fermé  de H et que est une base orthonor-
mee de M

2)Determiner les projections orthogonales sur M de .

Au fait je suis bloqué sur la deuxième question.
J'ai posé


et maintenant je ne sais plus quoi faire
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[inviteaf1870ed]

Es tu sur que c'est pour n<0 ?
Ne suffit il pas de développer f en série ?

[inviteabe6341d]

Merci
Oui c'est bien pour n<0.
J'ai essayé développé en série mais je sais pas comment faire pour me débarrasser de et et de inf.

C'est l'exercice 1 de cette pièce jointe

[inviteea028771]

Es tu sur que c'est pour n<0 ?
Ne suffit il pas de développer f en série ?

A mon avis, c'est bien pour e^inx négatif, par contre la base de M c'est e^inx pour n entier positif.


Ici je développerai 1/(1-e^ix) en série entière, et je considèrerai la suite gn(x) qui est la somme partielle de la série jusqu'au rang n (elle appartient à M).

On montre ensuite la convergence vers 0 dans L² de ||f-gn||, et comme M est fermé, on peut alors conclure quelque chose d'intéressant

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteaf1870ed]

Si tu regarde l'énoncé il y a une légère subtilité : la fonction f 1/2-exp(ix) et il y a une fonction g qui vaut 1/1-2exp(ix)...
Mais l'idée générale reste la même.

C'est toujours étonnant que les gens recopient des énoncés tronqués et donc peu compréhensibles...