Bonjour.

Le problème que je me pose est le suivant.

Plaçons-nous dans un espace uniforme A muni d'une structure d'entourage E sur AxA. Pour V et G deux entourages, on notera V*G l'ensemble des (x,y) dans AxA tels qu'il existe z dans A tel que (x,z) soit dans V et (z,y) soit dans G. Cette opération étant associative dans l'ensemble des entourages, on notera pour un entourage V et n dans IN*, nV l'entourage V*V*...*V n fois. Par convention on dira que 0V est égal à l'ensemble vide.
Pour V un entourage et B une partie de A, on notera aussi V(B) et on appellera boule centrée en B de rayon V l'ensemble des y dans A tels qu'il existe x dans B tel que (x,y) est dans V.

Donnons-nous maintenant un filtre F de A. On dira de F qu'il est satellite si pour tout entourage V de A, il existe x dans A et n dans IN tels que (n+1)V({x}) \ nV({x}) soit un élément de F. De manière plus imagée, F est satellite si on peut le localiser dans une orbite aussi fine que voulue autour d'un point (mais pas toujours le même point selon la finesse voulue).

Considérons maintenant que A est complet et bien enchainé et donnons nous un Ultrafiltre satellite U. Je veux prouver qu'il existe un centre pour U c'est-à-dire qu'il existe x dans A tel que pour tout entourage V de A, il existe n dans IN tel que (n+1)V({x}) \ nV({x}) soit un élément de U (Autrement dit on peut toujours le choisir lui pour localiser U autour dans une orbite de finesse quelconque).

J'ai attaqué le problème de la manière suivante. Si V est un entourage de A, notons M(V) l'ensemble des points de A tels qu'il existe n dans IN tel que (n+1)V({x}) \ nV({x}) soit un élément de U. Comme U est satellite, l'ensemble des M(V) pour V voisinage de A est une base de filtres. Soit M le filtre engendré par cette base. Il reste à montrer que M admet un point adhérent, un tel point étant alors un centre pour U.

Il y a je pense deux cas possibles:

- Soit U est de Cauchy et alors A est adhérent à M.
- Soit U n'est pas de Cauchy et alors M est de Cauchy.

Encore faut-t-il le prouver et là je galère un peu... Peut-être est-ce faux d'ailleurs, il y a peut-être des contre-exemples. N'hésitez pas si vous avez une idée ^^.

Merci d'avance pour votre aide.