Espaces normés

[invite204ee98d]

Bonsoir,

Je ne suis pas sur pour la premiere question d'un exercice et la seconde me pose probleme pour une raison bien precise

Dans E=C(\left[a,b\right];K) :

1) Montrez qu'il

J'ai juste dit que

Est-ce bon ?

2)En raisonnant par l'absurde montrez que les deux normes ne sont pas équivalentes. On utilisera la fonction définie par :

Le soucis c'est que l'expression de la fonction n'est écrite directement, je suppose qu'il faut retouver son expression mais je ne vois pas comment. Il y a un schéma:
Description: -Le schéma est fait sur un intervalle [a,b]
-sur [a, m-] la fonction est nulle
-entre [m-,m] avec m=(a+b)/2 la fonction est croissante représentée par une fonction affine et on a
-entre [m,m+] la fonction est représentée par une fonction affine de meme coefficient que la précédente avec (m+)=0
-entre [m+,b] la fonction est nulle

Et ils mettent en indications, on montrera que puis on conclura

Merci de m'aider, au revoir.
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[inviteea028771]

Pour la 1), oui, c'est bon

Pour la 2), il s'agit de montrer qu'une famille de fonction de Lp a une norme dans Lp bornée, alors que sa norme infinie peut être arbitrairement grande.

Tu peux te restreindre à l'intervalle [m-1/n,m+1/n] pour calculer la norme (ailleurs, les fonctions sont nulles), puis sur [m,m+1/n] par symétrie

Et ensuite tu te ramène sur [0,1/n] par translation. Là dessus l'expression de la fonction est simple, et le calcul de sa norme Lp n'est pas difficile non plus

[invite204ee98d]

Excusez moi mais je n'ai pas trop compris, vous dites qu'il faut que je montre que sa norme est finie ?
Je ne vois pas comment faire puisque je n'ai pas l'expression de la fonction, et je ne comprends pas pourquoi ?

[invite204ee98d]

Et c'est surtout retrouver son expression qui me pose probleme

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

Pour calculer la norme de , il suffit de décomposer l'intégrale en quatre intégrales chacune sur les segments qui définissent ; sur chacun de ces segments, est une affine, donc cela revient à trouver l'équation d'une droite passant par deux points connus, cela ne devrait pas te poser de problème.

[invite204ee98d]

Oui mais du coup on a :

mais on a un polynome de degré

[inviteea028771]

Oui, et comme tu t'es arrangé pour que ce qui est dans la valeur absolue soit positive, c'est quelque chose de la forme (ax+b)^p qui est très facile à intégrer

[invite204ee98d]

Du coup ensuite pour montrer que et ne sont pas equivalents je remplace juste p par l'infini dans l'expression trouvée qui donne n si je ne me trompe pas et je dis simplement si n tend vers l'infini c'est impossible d'avoir:

?

[invite204ee98d]

En fait, petit soucis avec ce que j'ai dit, ca ne peut pas faire n puisque si p tend vers l'infini on a un "mat error" puisqu'on a

[inviteea028771]

p est fixé, c'est n qui varie

[invite204ee98d]

Dans ce cas je dois montrer que est absurde

[invite204ee98d]

cela impose des conditions sur

[Seirios]

Il me semble que l'on trouve une contradiction en faisant tendre n vers l'infini dès que , non ?

[invite204ee98d]

On a je vois pas trop la contradiction

[Seirios]

Et pour ?

[invite204ee98d]

ca depend de p, logiquement on sait à quoi on doit arriver c'est a dire à donc absurde puisque doit etre strictement positif d'apres l'énoncé

[invite204ee98d]

Si en fait c'est évident ca tend bien vers 0