limites avec développements limités

[merguez833]

Bonjour j'ai une montagne de limites à déterminer avec les développements limités mais je bloque dès la première car je ne l'ai jamais fait

La première est: la limite quand x tend vers (x<) de

J'aurais besoin d'une méthode... est-ce qu'il faut que je détermine un DL au même ordre pour ln(2x/pi), pour exp(1/cosx) et que je me débrouille avec ça? Mais dans ce cas à quelle ordre?.. Poser une nouvelle variable t pour reconnaître des développements usuels?
enfin je ne sais pas trop...

Merci d'avance!
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[gg0]

Bonsoir.

On voit facilement qu'on a une forme indéterminée. Si tu connais surtout ce qui se passe au voisinage de 0, tu peux commencer par un changement de variable du type avec

Bon travail !

[merguez833]

J'ai posé avec

Pour le développement de j'ai donc

Pour celui de ,

Et j'en suis là pour l'instant. Je ne sais pas trop comment composer avec l'exponentielle parce que 1/cos(x) ne tend pas vers 0 ici. Et j'ai fait des développements à l'ordre 2 un peu au hasard, est-ce que je suis bien parti?

[gg0]

Si tu changes,

il n'y a plus de x, donc ton n'a pas lieu d'être.

Le terme en t² du ln ne servira pas.

Pour finir, tu pourras poser T=1/t pour te ramener à une limite connue.

Bon calcul.

NB : Si tu bloques encore, explicite bien tes calculs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[merguez833]

Ah oui mais du coup j'ai non?

En tout cas je vais essayer de faire comme ça, merci de ton aide, je te tiens au courant

[merguez833]

Ah non je viens de me rendre compte que j'ai fais mon développement de 1/cosx pour x au voisinnage de 0...

[gg0]

Et tu continues à travailler avec l'insane .

Fais le changement de variable sur la fonction dont tu cherches la limite, pas sur d'autres.

[merguez833]

oui mais quand je fais mon changement de variable sur 1/cosx j'ai -1/sin(t) et je n'arrive pas à trouver son développement limité en 0...

[merguez833]

Ou est-ce que je pourrai tout simplement dire avec en 0- ma fraction qui tend vers 0- et mon exponentielle vers l'infini avec l'exponentielle qui l'emporte, le tout qui tend vers moins l'infini?

[gg0]

Tu y es presque. Moi, pour assurer l'application des théorèmes de base, j'ai écrit
et utilisé la variable 1/t.

Cordialement.

[merguez833]

Pas bête haha!
En attendant j'ai essayé quelque chose. Pour trouver le développement limité de j'ai d'abord écrit celui de -sin(t), je suis passé à l'inverse et j'ai mis en facteur, j'ai ensuite pu appliquer le développement de et j'ai au final:

Sauf que là je rebloque parce que ça tend vers l'infini, alors je ne sais pas comment composer avec l'exponentielle

[gg0]

Il vaut mieux éviter les exponentielles de DL ....

[breukin]

Et puis on y voit plus clair avec des nombres positifs, donc le meilleur changement de variable, c'est et non .

Et alors devient .