Vecteurs

[invitee79cbbdf]

Salut tout le monde, je suis bloqué sur un exercice j'aurais besoin d'un peu d'aide :

Soient trois vecteurs v1, v2, v3 on suppose que v1 est non nul, v2 n'est pas colinéaire à v1 et v3 n'est pas combinaison linéaire de v1 et v2.
a) Trouver un réel lambda tel que vecteur w2 = lambdav1 + v2 soit orthogonal à v1
b) Trouver deux réels alpha et bêta tels que le vecteur w3 = alphav1 + bêtav2 + v3 soit orthogonal à v1 et v2
c) A quelle condition sur les coordonnées de v1,v2 v3 le système { w1/ ||w1|| , w2/||w2|| , w3/ ||w3||} est-il orthonormé direct ?

j'ai commencé par la a), vous pouvez me dire si c'est correct ? w2 . v1 = 0 <-> (lambdav1 + v2) . v1 = 0 <-> lambda||v1||^2 + v1v2 = 0 <-> lambda||v1||^2 = -v1v2
<-> lambda = -v1v2/ ||v1||^2
Ensuite, j'avoue être perdu.
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[gg0]

Bonjour.

Il te reste à finir le a) : Prouver que ce convient. Au passage : la division a été possible parce que ...
Ensuite, pour le b, tu fais la même chose; et tu utiliseras le fait que v1 et v2 ne sont pas colinéaires.

Bon travail !

NB : Si tu bloques en cours de route, écris-nous ce que tu as fait, on t'aidera à continuer.

[homeya]

Bonjour,

Pour la question b), je verrais bien un système du type:
soit
soit
A priori, les conditions imposées par l’énoncé doivent garantir l'existence d'au moins une solution (à vérifier durant la résolution).

Cordialement.

[homeya]

Ooops ... nos réponses se sont croisées ... mais nous arrivons à la même conclusion

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee79cbbdf]

Rebonjour, merci pour vos réponses ! J'ai bien fini le a) en remplaçant lambda dans mon expression et j'ai trouvé 0, et au passage, la division est possible car v1 et v2 ne sont pas colinéaires, je pense.
Pour b) j'ai bien réalisé un système d'équation et je trouve alpha = (-V1V3 - bêta V1V2) / ( ||V1||^2) et bêta = (-V2V3 - alphaV1V2) / (||v2||^2) j'ai remplacé l'expression de alpha dans la deuxième et je trouve 0, et vice-versa. Ensuite j'ai transcris chaque résultat dans l'expression de w3 et je trouve 0. Cela vous semble correct ?

[gg0]

La division est possible parce que v1 n'est pas nul (revois la règle sur la possibilité de diviser).

Je n'ai pas compris ce que tu racontes ensuite. Tu es dans le supérieur et tu ne sais pas résoudre un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues ? On apprend ça en troisième/seconde !

Cordialement.

[invitee79cbbdf]

Je me suis peut-être trop compliqué la vie... je recommence, je calcule alpha||v1||^2 x bêta||v2||^2 - alphav1v2 x bêtav1v2 = 0 donc le système n'a aucun ou une infinité de couples solutions. Or les équations ne sont pas proportionnelles, donc le système n'admet aucun couple solution. C'est mieux ?

[Elie520]

Bonsoir,

Juste, maintenant que tu dois avoir compris, saches que ce que tu as fait n'es pas juste une construction qu'on te demande de faire pour t'ennuyer, c'est quelque chose de connu sous le nom de Procédé de Gram-Schmidt.
Il sert, à orthonormaliser des familles de vecteurs indépendants quand tu as un produit scalaire. Je te laisse regarder les généralisations sur le lien.

Cordialement.

[gg0]

Je ne sais pas ce que tu fais,

mais il y a bien des valeurs de alpha et beta, faciles à calculer ...

Si tu réinterviens, dis quelle question tu fais, quels calculs tu as faits et détaille ces calculs. Là on est dans le flou le plus total !

[invitee79cbbdf]

Ok, je vais essayer d'être plus clair : donc on a , donc je commence par isolé le alpha dans la 1ère équation et je trouve jusque là ça va ?

[gg0]

Oui, ça va.

Mais pourquoi ne résous-tu pas ton système (méthodes classiques vues en lycée : combinaisons linéaires ou substitution par exemple) ?

[invitee79cbbdf]

Ce n'est pas une substitution ? Car je place l'expression d'alpha dans la deuxième équation, d'où :
Et c'est là que je bloque, pour tout vous dire. :'(

[gg0]

Normal que tu bloques ... tu fais n'importe quoi ! je n'arrive même pas à trouver une raison à des calculs aussi faux ...
La première égalité de ta ligne de calculs est correcte, mais ne donne pas la deuxième !!
Il te suffit de multiplier par ||v₁||² pour trouver une équation du premier degré en qui se résout par les méthodes apprises au collège (pour des équations plus simples, à ce moment-là).

[invitee79cbbdf]

comme ceci ? Si c'est le cas je me retrouve encore avec le même problème.
ps : Désolé, je viens de reprendre mes études, j'ai encore de grosses lacunes. J'essaye de faire de mon mieux pour comprendre...

[gg0]

Je ne ferai pas les calculs à ta place.

Si tu as vraiment envie de faire cet exercice, tu calcules sérieusement, et tu fais ce que je t'ai proposé.

Adieu ...

[invitee79cbbdf]

Je ne demande pas que tu me fasses les calculs, juste que tu me dises clairement ce qui ne va pas. Me rabaisser et me dire que je fais n'importe quoi en insistant sur le fait que les calculs sont d'un niveau collège n'arrangera pas les choses. Juste pour clore ce sujet, j'ai certes des lacunes, mais tu devrais te remettre en question, tu manques cruellement de pédagogie et de précision dans tes explications, sur ceux je ne te souhaite pas une bonne soirée...