Vecteurs vitesse et vecteurs accélération

[invite621f0bb4]

Bonjour bonjour !
J'ai une question relative à mon cours de Terminale S...
On vient de voir les vecteurs vitesses et nous travaillons actuellement sur les vecteurs accélérations. Nous avons donc vu comment obtenir le vecteur vitesse, c'est-à-dire en dérivant le vecteur position en fonction du temps.
Le vecteur accélération s'obtient lui en dérivant le vecteur vitesse.

Ok, mais j'ai du mal à saisir comment on peut obtenir des coordonnées en fonction de t pour le vecteur vitesse ?
Puisque les coordonnées d'un vecteur position sont par exemple :
x(t)i+y(t)j+z(t)k. (avec i ; j ; k des vecteurs formant le repère).

Logiquement en dérivant, les "t disparaissent", non ? Donc il n'en reste plus lors de la dérivation du vecteur vitesse.
Donc il faudrait des coordonnées en fonction de t², mais là je comprends pas trop comment c'est possible...

En fait si quelqu'un pouvait me faire un exemple, je pense que ça suffirait pour que je comprenne (ça serait sans doute plus simple que de me refaire le cours ^^
(Il est possible que mon explication soit floue, donc que ma question soit floue, et il est aussi possible que je n'ai pas du tout compris le cours ^^)

Merci pour la lecture et pour l'aide éventuelle
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[Etrange]

Salut,

Pourquoi les t disparaîtraient-il ? La dérivée d'une fonction de t peut et peut ne pas dépendre de t. Par exemple la fonction f(t)=t² dérivée dépend toujours de t mais pas la dérivée de la fonction g(t)=t. Soit le point M est repéré dans le plan 2D par ses coordonnées dépendantes de t:
x(t)=t²
y(t)=1
Donc OM = x(t)i+y(t)j
Son vecteur vitesse est :
dOM/dt = x'(t)i+y'(t)j
x'(t)=2t
y'(t)=0
Et son vecteur accélération :
d²OM/dt² = x''(t)i+y''(t)j
x''(t)=2
y''(t)=0

Ça t'aide ?

[invite621f0bb4]

Ok ok.
Mais ce que j'ai plus de mal à comprendre en fait c'est par exemple le t² de ton exemple.
Comment un point peut-il avoir pour abscisse "t²" ?
(Ou alors on nous donne toujours les coordonnées des points dans les énoncés de TS et c'est pas la peine que je me prenne la tête avec ça ^^ Mais même dans ce cas, je préfère comprendre !)

[invite3ba0dddb]

salut,
ça s'appel des fonctions paramétrées

Imagines un objet dont la trajectoire est un cercle de rayon 1 centré sur 0.
Avec les fonctions que tu as l'habitude d'utiliser tu ne pourrais pas décrire le cercle(car ça revient à donner 2 valeurs différentes pour ta fonction).
Avec une seule fonction tu ne pourrais décrire qu'un demi cercle d'équation sqrt(1-x^2)

Alors qu'en utilisant une fonction paramétré c'est simple:
tu dis que la variable t représente le temps.
Et tu décris les coordonnée x et y de l'objet en fonction de t:
x(t)=cos(t)
y(t)=sin(t)

Si un objet a pour trajectoire la courbe C d'équation y=x^2
on aura
x(t)=t^2
y(t)=t
Tu vois bien que y(t)=x(t)^2
Si tu as compris ça: rien n’empêche d'avoir t^2 ou sqrt(t) dans x ou y: ça dépendra de la trajectoire de l'objet.

J'espère que c'est clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited3a27037]

non un point M qui se déplace peut avoir pour coordonnées x et y n'importe quelle fonction du temps.

Par exemple la rotation uniforme

OM = cos(wt).i + sin(wt).j

où w est la pulsation oméga en rad/s

les coordonnées x et y de M valent:

x=cos(wt)
y = sin(wt)

puis les vecteurs vitesse et accélération


V = dOM/dt = -w.sin(wt).i + w.cos(wt).j = w.cos(wt+pi/2).i + w.sin(wt+pi/2).j

A = d²OM/dt² = dV/dt = -w².cos(wt).i -w².sin(wt).j = -w².OM

[invite621f0bb4]

Ha ok je pense avoir compris.
Par exemple, si un objet a pour trajectoire une courbe d'équation y=x²+3x+5
x(t)=t²+3t+5
y(t)=t

Et si on a 3y+2 = x²+3x+5
Alors on a :
x(t)=t²+3t+5
et
y(t)=3t+2

?

Du coup ça répond quand même un peu à l'une de mes questions, en TS on nous donnera les coordonnées du point dans l'énoncé, je pense pas qu'on puisse nous demander de les lire sur un graphique ?

[invite621f0bb4]

@Joel (mon message a été croisé ^^)
Je pense que j'en suis pas encore là ^^ Donc si ce qu'a dit Lawlyet yagami est vrai, je peux m'en contenter ^^

Et sinon alors, sous quelle condition y = une constante du coup ? Quand le point est sur l'axe des ordonnées ? (avec y = axe des ordonnées)

[Etrange]

Re.

y=C signifie que y ne varie pas dans le temps (il est indépendant du temps). En revanche son abscisse est libre de varier. Donc ton objet est astreint à se déplacer selon une droite (cas 2D) ou un plan (cas 3D) d’ordonnée C.

[invite621f0bb4]

Ah ok !
Merci beaucoup pour vos réponses à tous les trois en tout cas, je pense avoir mieux compris tout ça

[invited3a27037]

Ha ok je pense avoir compris.
Par exemple, si un objet a pour trajectoire une courbe d'équation y=x²+3x+5
x(t)=t²+3t+5
y(t)=t

non, c'est

x = t
y=t²+3t+5

mais ce n'est pas la seule possibilité, un point peut se déplacer sur la parabole y=x²+3x+5 de différentes façons, par exemple

x = cos(t)
y = cos(t)²+3cos(t)+5

Et si on a 3y+2 = x²+3x+5
Alors on a :
x(t)=t²+3t+5
et
y(t)=3t+2
?

non

Du coup ça répond quand même un peu à l'une de mes questions, en TS on nous donnera les coordonnées du point dans l'énoncé, je pense pas qu'on puisse nous demander de les lire sur un graphique ?

[invite3ba0dddb]

Du coup ça répond quand même un peu à l'une de mes questions, en TS on nous donnera les coordonnées du point dans l'énoncé, je pense pas qu'on puisse nous demander de les lire sur un graphique ?

Il faut connaitre l'équation du cercle.
On peut te demander de créer toi même l'équation de la trajectoire(en utilisant les loi de newton )
Je veux bien te montrer un exemple si tu veux.

Edit: si un modo pouvait modifier mon message #4 (j'ai inverser la valeur de x(t) et y(t)) merci

[invite621f0bb4]

Oui on n'a pas encore vu les lois de Newton mais ça ne saurait tardé
Si c'est pas compliqué je veux bien un exemple, enfin si t'as pas le temps ou quoi que ce soit c'est pas grave...

Et sinon, une coordonnée peut aussi être constante (comme dans mon exemple du y plus haut).
Dans ce cas, on peut avoir un y constant mais le x varie toujours.
Du coup, la représentation graphique est de quel type ?
Parce qu'on aurait quelque chose du genre :
x = 3t² (par exemple)
y = cste

Et sinon Joel, comment on sait la façon dont le point se déplace ? J'imagine que ça se détermine ?

[invite621f0bb4]

(EDIT : je ne voulais pas parlé de la "représentation graphique" mais plutôt de "l'écriture de relation entre x et y", ou plus simplement, l'équation de la courbe.

Parce qu'il y autre chose, si x(t) = 3, on remplace directement les x par 3 dans l'équation de courbe, non ?
Du coup on n'obtient un truc qui n'est plus en fonction du temps.

[invited3a27037]

Et sinon Joel, comment on sait la façon dont le point se déplace ? J'imagine que ça se détermine ?

En mécanique du point, quand on étudie le mouvement d'un point M soumis à des forces, on part presque toujours du Principe Fondamental de la Dynamique, Somme des Forces = mA

ça conduit à des équations différentielles dont la résolution donne les expressions de x(t) et de y(t) où x et y sont les coordonnées de M

[invite621f0bb4]

Ok merci

[invite7cd2b282]

Bonjour,

J'aimerais rajouter 2-3 choses.

Il faut faire attention au coefficient caché qui ont des unités. Par exemple, quand on écrit x(t) = 3t², en réalité, le 3 symbolise une accélération, qui a sa propre unité (de m/s² ou des km/hr² par exemple).

Ainsi, quand on écrit une formule avec des coefficients numériques qui ont une unité, il faut toujours préciser les unités utilisés pour x et t (ou y).
Pour reprendre mon exemple, quand je dis x(t) = 3t², il faut que je précise avec t en seconde et x en mètre.
En effet, il est tout aussi juste d'écrire x(t) = 10,8 t² avec t en minute et x en km.

Regarde d'ailleurs comment Joel a écrit pour un cercle en disant cos(wt) et sin(wt). Le omega permet d'"adapter" l'unité et ainsi sa formule est vrai qu'elle que soit la façon d'exprimer t. En revanche, quand tu écris cos(t) et sin(t), il faut impérativement savoir comment tu comptes "t". Avec des secondes ou des minutes, tu auras des résultats différents

Pour ta dernière question, il y a 2 domaines principaux en physique : la cinématique et la dynamique. Joel a expliqué la partie dynamique, mais on peut aussi étudier des trajectoires d'un point de vue purement cinématique. On peut récupérer les trajectoires via des expériences (je suis sûr que tu as déjà fait des TP avec un mobile sans frottement (qui flotte sur de l'air qu'il expulse) et qui brule une feuille de papier à intervalle de temps régulier), et ainsi calculer les vitesses et accélération.

On peut aussi connaitre la trajectoire d'un objet a priori : on sait qu'un pendule aura forcément un trajectoire circulaire, et donc on peut exprimer la forme de x(t) et y(t) comme l'a fait Joel en #5. En calculer l'accélération, on se rend compte que l'accélération dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme est nécessairement centripète.

[invite621f0bb4]

Merci bien
En fait le cours qu'on a fait aujourd'hui a repris pas mal de choses de ce que vous avez dit, répondant à mes questions en fait ^^
(Comment trouver l'équation d'une trajectoire par exemple etc...)

En tout cas je vous remercie pour toutes vos réponses qui m'ont éclairé sur beaucoup de points