Bonjour
soient (G,.) un groupe son neutre est noté e et a , b appartiennent à G.soit n supérieur ou égal à 1.
montrer que (b.a)^n=e si et seulement si (a.b)^n=e
peut on résoudre cet exercice en utilisant le morphisme epsilon_g(n)=g^n.
si oui pouvez vous m'écrire comment vous avez fait.merci d'avance
cdt
Il y a une démonstration très simple, utilisant juste les propriétés de base d'un groupe, en particulier l'existence d'un inverse.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
moi j'ai utilisé les propriétés du morphisme à savoir ceci
[(eps_x(n).eps_y(n))^-1=(eps_x(n).eps_y(n))^-1=(y.x)^-n puis (y.x)^-n.(y.x)^n=e et e=(y.x)^n
n'est pas (en général) égal à
C'est vrai si le groupe est commutatif, mais alors la propriété est triviale
D'autre part, ce sont des morphismes de
On a juste que
Et a dire vrai, je ne vois pas du tout comment cette famille de morphismes peut être utile
en fait c'est un endomorphîsme donc DDR G dans G ici Z n'apparaît nulle part.
Ça n'est un endomorphisme que si le groupe G est commutatif (et d'autre part, noter le point auquel on applique la fonction en indice est une mauvaise idée) :
En effet, en général (en notant f_n cet endomorphisme)
