Fonction m fois dérivable en un point

[TD1234]

Bonjour à tous,

Je suis en train de lire un article qui affirme que si nous avons une fonction définie sur et un point réel tel que si il existe un polynome de degés strictement inférieur à et tel que pour tout $l$ voisinage de 0 alors f est m fois dérivable en t pour m<n. Je suis d'accord que si n>1 alors f est dérivable en t. Mais pourquoi si n>2, elle serait dérivable deux fois en t ? Pour moi, f n'est pas forcément dérivable au voisinage de $t$ ; par conséquent, peut-on définir une notion de dérivabilité m fois en un point sans passer par le fait d'être la dérivée de la fonction dérivée m-1.

Merci.
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[Seirios]

Bonsoir,

Pour , il me semble que si la limite existe, où est dérivable en , alors est deux fois dérivable en (je crois avoir eu cet exercice en colle en prépa).

Par contre, je ne vois pas comment cette idée pourrait se généraliser à des supérieurs.

[Tryss]

Bonsoir,

Pour , il me semble que si la limite existe, où est dérivable en , alors est deux fois dérivable en (je crois avoir eu cet exercice en colle en prépa).

Par contre, je ne vois pas comment cette idée pourrait se généraliser à des supérieurs.

Il s'agit en fait d'un schéma de différence finie.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Diff%C3%A9rences_finies

[TD1234]

ok merci, je ne connais pas du tout. Je vais lire ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

La fonction , prolongée par , semble être un contre-exemple, non ?

[TD1234]

En effet, c'est une fonction dérivable sur R mais dont la dérivée est non continu en 0, donc non dérivable. Je vais vérifier, mais ça semblerait logique que la notion de dérivée m° en un point, si elle existe, doit coïncider avec la dérivée de la dérivée (m-1)° (quand elle existe) en un point.

[Seirios]

Je vais vérifier, mais ça semblerait logique que la notion de dérivée m° en un point, si elle existe, doit coïncider avec la dérivée de la dérivée (m-1)° (quand elle existe) en un point.

N'est-ce pas vrai par définition ?

[TD1234]

Je parle de la notion de dérivée m° en un point sans passer par la dérivée de la dérivée m-1. Sur ce forum, on m'a parlé des schéma de différence finie mais sur un autre, on m'a parlé d'une (autre?) théorie de la dérivation m° en un point qui est la suivante : la fct. $ f$ sera $ p$ fois dérivable en s'il existe des nombres tels que , où quand . Elle serait dû à Peano.

[Seirios]

Autrement dit, pour un certain polynôme de degré ; c'est exactement la condition de ton message #1, donc je ne vois pas en quoi cela aide.

[TD1234]

En effet... je crois que je n'ai pas encore tout assimiler sur cette matière... En fait, je voulais montrer que si j'avais ma condition du premier message pour un s>2, alors la fonction n'est pas forcément dérivable deux fois en t. L'exemple donné plus haut à répondu à cette question. Mais là, j'utilise la notion d'être dérivable deux fois en t, comme être dérivable et continu au voisinnage de t et encore une fois dérivable en t ; cad la notion habituelle de dérivée m°.
Je m'étais également posé la question, si on pouvait donné un sens à la notion de dérivée m° en un point, sans passer par la dérivée de la dérivée (m-1)° au voisinnage du point. Cette question vient d'une fonction qui est dérivable en un point mais qui n'est dérivable sur aucun voisinnage de ce point ; alors je me suis demandé si on pouvait avoir de même pour une dérivée deuxième en un point et là, je me suis rendu compte qu'avec la définition que je connais (et qui je pense classique) de la dérivée seconde, c'était pas possible par définition.
Et puis, on m'a parlé de dérivée m° en un point, sans passer par la définition classique... mais en fin de compte, c'est pe équivalent à mon premier message...