Des racines et des polynômes

[invite159cf21f]

Bonjour à tous,


Je suis actuellement en sup, et je suis face à un problème que je ne vois pas comment abordé.

au milieu d'un exercice sur une suite de polynôme, j'ai une démonstration à faire mais je ne vois pas du tout comment m'en sortir...

je vous donne les info que j'ai réussis à démontrer dans toutes les question précédente.

(P_n) et (Q_n) deux suite de polynôme. P₀ = X et Q₀ = 1

P_n+1 = P_n . Q_n
Q_n+1 = (P_n)² + (Q_n)²

Pn est de degré 2ⁿ-1 et Qn est de degré 2ⁿ et le coeeficient dominant des deux polynôme est 1

P_n (0) = 0 et Q_n (0) = 1 pour tout n (entier naturel)

P_n est impair, Q_n est pair et tous les coefficient de P_n et Q_n sont positif ou nul (toujours pour tout n )



Et après tout ça je dois démontrer que Z(P_n+1) "inter" Z(Q_n+1) "icluent" dans Z(P_n) "inter" Z(Q_n) avec Z(O) l'ensemble des racines du polynôme O.
Voilà si quelqu'un à une idée...

Merci d'avance pour vos réponses
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[Seirios]

Bonjour,

Il te suffit de remarquer que si , alors et . Tu en déduis facilement que nécessairement .

[Amanuensis]

Annulé..........

[invite159cf21f]

Hmm je pense avoir compris.

En fait le z que vous avez posez ici est tel que P_n+1(z) = 0 et Q_n+1= 0

On déduit de cela que P_n(z)= 0 ET Q_n(z) = 0 donc z est également racine comune à P_n et Q_n

ce qui montre que toutes les racines communes de P_n+1 et Q_n+1 le sont aussi pour P_n et Q_n ce qui répond à la question !


Merci beaucoup !


et ammanuensis , que veut dire ce "annulé" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite159cf21f]

Ha et une autre question, si je veut savoir si les deux polynôme ont une racines commune, est ce une bonne idée d'essayer de prouver que l'ensemble Pn+1 "inter" Qn+1 n'est pas l'ensemble nul ?


En fait je ne vois vraiment pas que faire...

[Seirios]

Lorsque tu parles des deux polynômes, tu parles de et ? Pour un quelconque ?

[invite159cf21f]

oui je parlait de P_n et Q_n avec n quelconque (appartient au entier naturel )


mais c'est bon je pense avoir trouver? J'ai fais une récurrence. Je ne suis pas sûr que ça sois exacte pouvez vous me dire si cette démonstration tient la route ?

j'ai calculer P₁ , Q₁, P₂ et ₂
on voit que pour n= 0, 1, ou 2, il n'y à pas de racine commune.

J'ai donc supposer qu'il n'y en avais pas et donc fait une récurrence avec la proposition R_n "P_n et Q_n n'ont pas de racine commune"

R₀ vrai

On suppose R_n vrai, ce qui implique que l'ensemble Z(P_n) "inter" Z(Q_n) est l'ensemble nul.
Or en me servant de la relation prouver avant, si l'ensemble Z(P_n) "inter" Z(Q_n) alors l'ensemble Z(P_n+1) "inter" Z(Q_n+1) est nul égallement
Donc R_n+1 est vrai.

Donc d'après le principe de récurrence, P_n et Q_n n'ont pas de racine commune.

ça tient la route ?

[Seirios]

Oui, c'est tout à fait correct. Juste une petite remarque de vocabulaire : on parle plutôt d'ensemble vide que d'ensemble nul.

[invite159cf21f]

D'accord merci beaucoup

et merci pour la rectification de vocabulaire.

Bonne journée