Matrice de Cartan: une question sur le tracé des diagrammes des racines.

[invite54165721]

Bonjour

Je viens de commencer à lire des aricles sur les matrices de cartan (+diagrammes de Dynkin) et le tracé des racines.
D'aprés ce que j'ai compris ces diagrammes (idem pour les matrices) codent pour les racines simples les rapports entre les angles et les longueurs des racines simples.
Il me se semble qu'il manque qqchose pour tout savoir sur l'algèbre de Lie dont on parle.
Par exemple pour tracer le diagramme tout bete de su(3), je trace deux axes perpendiculaires avec des vecteurs unités et je sais que j'ai un système de 6 vecteurs de même longueurs formant un hexagone.
ma question est la suivante: quel est la formule ou le théorème qui m'indique que l'un des vecteurs doit être sur l'axe des abscices que j'ai tracé?
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[0577]

A une algèbre de Lie correspond une classe d'isomorphisme de systèmes de racines.
Si on choisit une réalisation du système de racines de su(3) dans R^2 alors en appliquant une transformation orthogonale de R^2
on obtient un système de racine isomorphe.

[invite54165721]

Tout d'abord merci pour ces réponses.

Ce qui me trouble c'est que les vecteurs du diagramme correspondent à des bosons (gluons ou autres) dont
les projections sur les axes sont les valeurs de certaines quantités définies. pour su(3) on dim(H) = 2 et on caractérise les bosons par deux valeurs. les 2 racines simples ne sont pas sur les axes mais au moins une est sur l'axe horizontal.
pouvez vous développer?
merci.

[0577]

Ma première réponse disait juste qu'à une algèbre de Lie semi-simple "abstraite" (i.e une classe d'isomorphisme
d'algèbres de Lie) correspond un système de racines "abstrait"(i.e une classe d'isomorphisme de systèmes de racines).

Mais ce n'est pas une réponse à votre deuxième question. J'essaie d'en donner une ci-dessous :

Pour parler concrètement du système de racines d'une algèbre de Lie il faut se fixer une algèbre de Cartan h.
Pour une algèbre de Lie définie matriciellement, on a souvent un choix naturel. Par exemple si on voit su(3)
comme l'ensemble des matrices antihermitiennes 3x3 de trace nulle alors on peut prendre pour h l'ensemble des
matrices diagonales de su(3).
Les racines sont alors des éléments du dual de h, noté h*. Par définition, les racines sont les poids de la représentation adjointe. Pour pouvoir faire un dessin avec des axes, il faut avoir défini les axes (!). Il faut donc choisir une base de h*. Par exemple si on prend pour e_(1) (resp. e_(2)) la forme linéaire qui à une matrice diagonale diag(a,b,c) associe a-b (resp. b-c) alors (e_(1), e(2)) forme une base de h* mais c'est un choix arbitraire. Les physiciens ont souvent des choix préférés reliés à des quantités physiques (si on s'intéresse
par exemple à la façon dont les quarks u,d et s forment des hadrons, l'isospin est une certaine combinaison
linéaire de e(1) et e(2)). Mathématiquement, il peut être agréable de choisir une base formée de racines mais même avec cette condition il n'y a pas unicité.
Une fois qu'on a défini une base de h*, il suffit de calculer la représentation adjointe dans cette base pour dessiner le système de racines.
J'insiste peut-être un peu trop mais je répète que pour arriver à cette conclusion, il y a deux choix arbitraires à faire : celui d'une sous-algèbre de Cartan h et celui d'une base de h*. C'est également important physiquement :
les axes étant arbitraires, ils n'ont pas de signification physique !
Pour clarifier les choses, il y a deux exemples physiques à avoir en tête :
-la symétrie su(3) décrivant la façon dont les quarks u,d et s forment des hadrons : le point clé est que cette
symétrie n'en est pas une, c'est seulement une symétrie approchée. Un quark u est vraiment différent d'un quark s, autrement dit j'ai un choix privilégié de base de h*.
-la symétrie su(3) de jauge intervenant dans la formulation de la chromodynamique quantique (gluons ...) : c'est une "vraie" symétrie (en tous cas au niveau des connaissances expérimentales actuelles). Dans ce cas
le choix des axes n'a pas de signification physique. Il y a des choix standard de base utilisé pour les calculs
(matrices de Gell-Mann ...) mais qui sont juste les plus commodes.
Bien sûr les projections sur les axes sont des quantités physiques mais pour que l'expérimentateur les mesure, il faudra qu'il ait choisi la même base que vous. ( La position d'un point dans l'espace est une quantité physique, les coordonnées de ce point dans un repère aussi mais le repère non ...)

J'espère que ce n'est pas trop long et trop confus ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

Non,non c'est parfait.
Vous avez bien fait de reprendre les points de base de cette histoire.

Je vais abuser de façon éhontée de votre bonne volonté.
Pourriez vous lire cette remarque de Gordon Brown en 1963. Non ce n'est pas l'ancien premier ministre anglais. Il calcule ici la somme des carrés des longueurs des racines.
Je cale sur la dernière égalité entre les sommes sur les racines notées gamma. Pourriez vous la justifier?

Merci encore pour la réponse précédente que je vais relire calmement.

[0577]

Le lien ne fonctionne pas.

[0577]

J'ai trouvé avec google un article de Brown de 1963 qui parle des longueurs des racines : ce doit être la remarque dont vous parlez.

Si je ne me trompe pas, pour la dernière égalité il faut savoir que \gamma ( h_{alpha}) = (\alpha, \gamma) mais c'est la définition de la dualité
\alpha -> h_{\alpha} entre H et H*
(l'article définit h_{\alpha} par: \alpha(h) = (h_{\apha}, h). Si on applique cette formule en remplaçant
\alpha par \gamma et h par h_{\alpha} on obtient : \gamma ( h_{alpha}) = (h_{\alpha}, h_{\gamma}) = (\alpha, \gamma) )

[invite54165721]

Fiat lux et lux fuit et j'ai enfin compris. Merci.

Ca m'étonne pour le lien je viens de réessayer il marche chez moi.
Si tu t'intéresse à la programmation j'ai trouvé ces sources en python et mathematica (à décompresser)
SemisimpleLieAlgebras.zip
Je viens de vérifier que le lien fonctionne.

[invite54165721]

J'ai trouvé avec google un article de Brown de 1963 qui parle des longueurs des racines : ce doit être l
(l'article définit h_{\alpha} par: \alpha(h) = (h_{\apha}, h). Si on applique cette formule en remplaçant
\alpha par \gamma et h par h_{\alpha} on obtient : \gamma ( h_{alpha}) = (h_{\alpha}, h_{\gamma}) = (\alpha, \gamma) )

Pour utiliser Tex il suffit de mettre l'expression entre la balise [tex] et la même avec un / devant le tex