Question sur l'inversibilité des matrice

[invite85f7dd8b]

soit A une matrice d'orde n
si il existe une matrice B d'orde n tq A*B=I alors A*B=I=B*A

quelle est la preuve de ce résultat ?
Merci d'avance les matheux.
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[invitedff4fa84]

Bonsoir,
Je crois que c'est la démonstration :
A*B=I => B*A*B=B
=> B*A*B*A=B*A=C
=> C(C-I)=0
=> C=I=B*A
car si C=0 alors C*B=O=B absurde

[invitebe08d051]

Bonsoir,

Vous voulez montrer que pour une matrice carré, l'inversibilité à droite ou à gauche suffit pour dire que la matrice est inversible.

Soit

Si il existe tel que on aura:

(Conséquence de la composition)

Or on a toujours ce qui prouve que et donc que est inversible.

N'empêche que je me rappelle avoir lu quelque part que ce résultat était une conséquence du théorème du rang.

Mouais....

[invitedff4fa84]

Bah je n'est pas bien compris pourquoi rg(A.B) <= rg(A) ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebe08d051]

Bah je n'est pas bien compris pourquoi rg(A.B) <= rg(A) ??

Ça découle du fait que: .
J'avoue que c'est l'un des rares résultats où j'ai utilisé cette inégalité.

Pour ce qui est du théorème du rang, je me rappelle enfin :

Si une matrice est inversible à droite, elle représente une certaine application linéaire surjective entre deux espaces vectoriels de même dimension, d'où la bijectivité de cette application et l'inversibilité de A.

[invitebe08d051]

Bah je n'est pas bien compris pourquoi rg(A.B) <= rg(A) ??

En fait, il existe une façon de voir ça qui me semble assez chouette.

On introduit l'espace des lignes d'une matrice, noté .

Par définition, l'espace des lignes est le sous espace de engendré par les lignes de . (rien de plus simple ).

(On parle de façon analogue de l'espace des colonnes ).

Il est clair que .

Maintenant, examinons la matrice :

Un résultat important est que chaque colonne de est combinaison linéaire des colonnes de . (Si tu t'embrouille essaye d'expliciter le calcul du produit matriciel)

Donc est un sous espace de , d'où le résultat.

Cordialement

[invitebe08d051]

Bonsoir,
Je crois que c'est la démonstration :
A*B=I => B*A*B=B
=> B*A*B*A=B*A=C
=> C(C-I)=0
=> C=I=B*A
car si C=0 alors C*B=O=B absurde

Hélas, je crains que l'anneau des matrices carrés ne soit pas intègre.

[invitedff4fa84]

Oui j'ai pas le droit de dire C=0 ou C-I=0,
Un simple contre exemple A.B=0 avec a11=1 et pr tt i j différent de 1 aij=0
et b12=0 pr tt (i,j) différent de (1,2) bij=0.
c'est pourquoi j'ai dit je crois. Merci pour ton attention Mimo

[invite85f7dd8b]

Merci les amis

mais je me demande si il esite d'autre méthode sans utiliser le rg ??

[invitebe08d051]

mais je me demande si il esite d'autre méthode sans utiliser le rg ??

Apparemment non.

J'ai fais quelques recherches, la plupart des cours mentionnent que c'est une conséquence de théorème du rang sans même donner de démonstration.

[invite57a1e779]

Bonjour,

Si , alors : et , sont inversibles, et les matrices et le sont également.

Donc , et .