borne

[invite371ae0af]

Bonjour,

E un espace vectoriel normé complexe et G un sous espace vectoriel de E. g application linéaire continue de G dans K=R ou C
x dans G
h(y)=||g|| ||x+y|| -g(y) et l(y)=-||g|| ||x+y|| -g(y)

on a h(y)>=l(y)

comment trouve-t-on inf{h(y)}>=sup{l(y)}?
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[invitef3414c56]

Bonjour,

Tout d'abord on ne voit pas bien le pourquoi de l'introduction de E et de G (parce que tout se passe dans G), et il vaut mieux éviter de prendre g à valeurs dans C, puisque dans ce cas, vos comparaisons ne sont pas possibles.

Ceci étant dit, écrivez g(y)=g(x+y)-g(x) dans h et dans l. Votre g(x) ne fait rien à l'affaire, puisqu'il est indépendant de y. Donc tout revient à démontrer l'inégalité avec et . Mais x+y est alors aussi arbitraire que y; vous voulez donc démontrer que , z variant dans G. Il suffit pour cela de démontrer que pour tout couple u,v dans G on a . Je vous laisse finir en constatant que c'est une conséquence de la définition de la norme de g et de l'inégalité triangulaire.

Cordialement.

[albanxiii]

Bonjour,

on a h(y)>=l(y)

Si g est à valeur dans C, je veux bien savoir comment cela est possible.

@+

[invitef3414c56]

Bonjour,
Albanxiii a parfaitement raison, mais j'ai déjà signalé ce point dans mon message précédent. J'en profite pour modifier un peu celui-ci: Les signes de normes sont mal faits, et il faut lire h*(x+y)=... et l*(x+y)=.... au lieu de h*(y)=... et l*(y)=...

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

je ne comprend toujours pas comment avoir inf{h(y)}>=sup{l(y)}?

ce que me donne Jedoniuor c'est la justification du fait que h(y)>=l(y)

[invitef3414c56]

Bonsoir,

Je vous rappelle ce que et .

Prenez maintenant deux éléments quelconques u,v dans G.

On a . Pour le voir, constatez que c'est équivalent à



et utilisez la définition de la norme pour majorer g(u-v), puis l'inégalité triangulaire.

Ensuite:

Prenez d'abord la borne inférieure sur u, en laissant v fixé.

Vous obtenez

Puis prenez la borne supérieure sur v.

Cordialement.