Théorème du rang

[invite93ca7f22]

Bonjour,

Dans la démonstration du théorème du rang :

1) Soit U un supplémentaire de Ker ƒ :
E = Ker ƒ⊕U (et donc Ker ƒ ∩ U = {0})
Considérons l'application linéaire g =ƒ : U → Im ƒ.
Montrons que l'application linéaire ainsi construite est un isomorphisme d'e.v.

Montrons que g est une surjection de U sur Im ƒ :
Soit y ∈ Im ƒ. Alors : ∃x ∈ E tel que y = ƒ(x)
Écrivons : x = x1 + x2 avec x1 ∈ Ker ƒ et x2 ∈ U
Ainsi, il apparaît : y = ƒ(x1 + x2) = ƒ(x1) + ƒ(x2) = 0 + ƒ(x2) = ƒ(x2)
Donc y admet un antécédent, par ƒ, dans U (à savoir x2).
Donc y admet un antécédent par g. Donc g est bien une surjection de U sur Im ƒ.

Montrons que g est injective :
Soient x, y ∈ U. Supposons g(x) = g(y)
Alors, par linéarité de g : x − y ∈ Ker g
Mais g est une restriction de ƒ donc : Ker g ⊂ Ker ƒ
Donc : x − y ∈ Ker ƒ
Et comme Ker ƒ ∩ U = {0}, on a : x = y
Donc g est injective.

Bilan : g est un isomorphisme d'e.v., ce qui prouve que tout supplémentaire de Ker ƒ est isomorphe à Im ƒ.

2) Soit U un supplémentaire de Ker ƒ : E = Ker ƒ⊕U
D'après un corollaire précédent : dim E = dim Ker ƒ + dim U
Et en vertu de ce qui précède (dim U = dim Im ƒ), il vient :
dim E = dim Ker ƒ + dim Im ƒ
On a prouvé le théorème du rang.

Je ne comprends pas pourquoi on doit montrer que g est une bijection de U dans Imf avant de dire que dimU = dim (Im f). En fait je ne vois pas pourquoi, si par exemple g était seulement une injection de U dans Imf, qu'aurions nous déduis sur les dimensions de U et Imf ? et si g était une surjection ?

Cordialement, merci.
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[taladris]

Salut,

note que le fait que g soit linéaire est fondamental. Si E et F sont deux espaces vectoriels de dimension finie, alors dim(E)=dim(F) si et seulement s'il existe un isomorphisme entre E et F.

Par exemple, il existe une bijection (non linéaire donc) entre et et pourtant ils n'ont pas la même dimension.



Pour le reste de ta question: soit E et F deux espaces vectoriels de dimension finie et une application linéaire. Alors:
1) si f est injective, alors .
2) si g est surjective, alors .

Pour le montrer, tu peux montrer les deux faits suivants:
i) si f est injective, alors l'image d'une famille libre de E est une famille libre de F.
ii) si f est surjective, alors l'image d'une famille génératrice de E est une famille génératrice de F.

Tout cela se démontre en jouant avec les définitions. Prends le temps de bien connaître tout cela, c'est fondamental pour comprendre l'algèbre linéaire.

Cordialement

[invite93ca7f22]

D'accord mais quand tu dis :

Pour le montrer, tu peux montrer les deux faits suivants:
i) si f est injective, alors l'image d'une famille libre de E est une famille libre de F.

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi si f injective, on a nécessairement que l'image d'une famille libre de E est une famille libre de F.
Soient (e₁,..,e_n) une famille libre de E.
C'est-à-dire que a₁e₁ +....+a_ne_n = 0_E => a₁=...=a_n=0
Donc a₁f(e₁) +....+a_nf(e_n) = 0_F => a₁=...=a_n=0
En quoi avons besoin de f injective pour montrer ceci ?

De même,

ii) si f est surjective, alors l'image d'une famille génératrice de E est une famille génératrice de F.

Ici, on utilise ce théorème : f surjective si et seulement si Im f = F ?
Or, je ne comprends pas non plus ce théorème. En fait, je n'arrive pas à me le visualiser... Donc si tu pouvais m'expliquer aussi s'il te plait ?

Cordialement

PS : Peux-tu me dire comment tu écris sur ce site, R² avec les notations mathématiques ? Merci

[gg0]

Bonsoir.

Je n'arrive pas à comprendre pourquoi si f injective

Tout simplement parce que tu ne fais pas la preuve :

Donc a₁f(e₁) +....+a_nf(e_n) = 0_F => a₁=...=a_n=0

Le donc et le => ne sont qu'une affirmation de conviction, pas une application de règles de maths !!
On a : a₁f(e₁) +....+a_nf(e_n) = 0_F
Qu'en déduis-tu ?
Comment arrives-tu à a₁=...=a_n=0 ? sans te contenter d'affirmations.
Pour la surjectivité, c'est exactement la définition de surjectif

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Pour l'écriture en symboles mathématiques, lire http://forums.futura-sciences.com/ma...res-forum.html

[invite93ca7f22]

Comme (e₁,...,e_n) est une famille libre alors a₁=...=a_n=0
D'où (f(e₁),...,f(e_n)) est une famille libre de F.

Oui mais le théorème que j'ai utilisé est aussi la définition de surjectif : f surjective si et seulement si Im f = F.
Et je ne vois pas le rapport entre ce théorème et : si f est surjective, alors l'image d'une famille génératrice de E est une famille génératrice de F.

Cordialement

[gg0]

Dans les deux cas, tu ne fais pas le travail de preuve :

"Soient (e₁,..,e_n) une famille libre de E.
C'est-à-dire que a₁e₁ +....+a_ne_n = 0_E => a₁=...=a_n=0
Donc a₁f(e₁) +....+a_nf(e_n) = 0_F => a₁=...=a_n=0 ???
Tu veux dire "Donc 0.f(e₁) +....+0.f(e_n) = 0_F => 0=...=0=0 ??? ", c'est à dire que ce sont les mêmes a_i qu'à la ligne précédente ?
Ou bien tu veux prouver que (f(e₁),...,f(e_n)) est une famille libre de F ?
Alors il faut partir de b₁f(e₁) +....+b_nf(e_n) = 0_F et en déduire (prouver) que les b_i sont tous nuls.

Idem pour la surjectivité : Si tu n’essaies pas de faire la preuve, au moins de commencer, tu n'apprends rien !

Bon travail !!

NB : C'est à toi de travailler pour comprendre, nous on comprend.

[invite93ca7f22]

Ah d'accord j'ai pris les choses à l'envers en fait.
Donc je reprends :
Supposons injective et (e₁,..,e_n) une famille libre de E.
Cherchons les :
car f injective.
Comme (e1,..,en) une famille libre de E alors .
Donc l'image d'une famille libre de E est une famille libre de F.

Soit (e₁,..,e_n) une famille génératrice de E.
Soit alors il existe : et il existe des :

[gg0]

Bravo !
....

[taladris]

Cherchons les :
car f injective.

C'est le point crucial de la preuve. Il faut le prouver en details (notamment, ce resultat n'est vrai que parce que f est lineaire).