Bonjour,
Dans la démonstration du théorème du rang :
1) Soit U un supplémentaire de Ker ƒ :
E = Ker ƒ⊕U (et donc Ker ƒ ∩ U = {0})
Considérons l'application linéaire g =ƒ : U → Im ƒ.
Montrons que l'application linéaire ainsi construite est un isomorphisme d'e.v.
Montrons que g est une surjection de U sur Im ƒ :
Soit y ∈ Im ƒ. Alors : ∃x ∈ E tel que y = ƒ(x)
Écrivons : x = x1 + x2 avec x1 ∈ Ker ƒ et x2 ∈ U
Ainsi, il apparaît : y = ƒ(x1 + x2) = ƒ(x1) + ƒ(x2) = 0 + ƒ(x2) = ƒ(x2)
Donc y admet un antécédent, par ƒ, dans U (à savoir x2).
Donc y admet un antécédent par g. Donc g est bien une surjection de U sur Im ƒ.
Montrons que g est injective :
Soient x, y ∈ U. Supposons g(x) = g(y)
Alors, par linéarité de g : x − y ∈ Ker g
Mais g est une restriction de ƒ donc : Ker g ⊂ Ker ƒ
Donc : x − y ∈ Ker ƒ
Et comme Ker ƒ ∩ U = {0}, on a : x = y
Donc g est injective.
Bilan : g est un isomorphisme d'e.v., ce qui prouve que tout supplémentaire de Ker ƒ est isomorphe à Im ƒ.
2) Soit U un supplémentaire de Ker ƒ : E = Ker ƒ⊕U
D'après un corollaire précédent : dim E = dim Ker ƒ + dim U
Et en vertu de ce qui précède (dim U = dim Im ƒ), il vient :
dim E = dim Ker ƒ + dim Im ƒ
On a prouvé le théorème du rang.
Je ne comprends pas pourquoi on doit montrer que g est une bijection de U dans Imf avant de dire que dimU = dim (Im f). En fait je ne vois pas pourquoi, si par exemple g était seulement une injection de U dans Imf, qu'aurions nous déduis sur les dimensions de U et Imf ? et si g était une surjection ?
Cordialement, merci.
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et 
Envoyé par mtjalu 