démo théorème du rang

[invite371ae0af]

bonsoir,
pouvez vous m'expliquer la démonstration du théorème du rang?

dimE=n
Soit B={e₁,...,e_p,e_p+1,...e_n} une base de E tel que Kerf=Vect{e1,...,ep}
montrons que dim imf=n-p
par définition imf={f(x),x dans E}=Vect{f(ei=,i=1,..,n} pourquoi ici avons cette égalité pour imf ,elle vient d'ou?
Or f(e1)=...=f(ep)=0 pourquoi cela vaut 0?
donc imf=Vest{f(ep+1),...,f(en)}
F est surjective sur son image comment on sait ca? on ne l'a pas montré?

donc {f(ep+1),...,f(en)} est générateur de f(E)=imf
comme il est libre (comment sait on que le système est libre?) c'est une base de imf et donc dim imf=card{f(ep+1),...,f(en)}=n-p



merci de votre aide
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[invite57a1e779]

par définition imf={f(x),x dans E}=Vect{f(ei=,i=1,..,n} pourquoi ici avons cette égalité pour imf ,elle vient d'ou?

Les éléments x de E sont les combinaisons linéaires des vecteurs ei de la base.
Par linéarité de f, les éléments f(x) de imf sont les combinaisons linéaires des vecteurs f(ei).

Or f(e1)=...=f(ep)=0 pourquoi cela vaut 0?

Parce que e1, ..., ep sont, par définition, des vecteurs de Kerf.

F est surjective sur son image comment on sait ca? on ne l'a pas montré?

C'est la définition même de imf : les éléments de imf sont exactement les vecteurs qui ont un antécédent par f.

donc {f(ep+1),...,f(en)} est générateur de f(E)=imf
comme il est libre (comment sait on que le système est libre?)

On considère une combinaison linéaire de ces vecteurs ; on suppose qu'elle est nulle, et on démontre que tous les coefficients sont nuls.

[invite371ae0af]

donc {f(ep+1),...,f(en)} est générateur de f(E)=imf
comme il est libre (comment sait on que le système est libre?) c'est une base de imf et donc dim imf=card{f(ep+1),...,f(en)}=n-p

pourquoi a t-on besoin de la surjectivité pour montrer que le système {f(ep+1),...,f(en)} est générateur car on écrit imf=Vect{f(ep+1),...,f(en)} donc le système est automatiquement générateur

[Tiky]

pourquoi a t-on besoin de la surjectivité pour montrer que le système {f(ep+1),...,f(en)} est générateur car on écrit imf=Vect{f(ep+1),...,f(en)} donc le système est automatiquement générateur

C'est une tautologie pour rendre la démonstration plus claire mais elle est superflue comme toute tautologie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

c'est quoi une tautologie?

[invite57a1e779]

Il suffit de se renseigner.