Matrices orthogonales et inégalités

[invitebe08d051]

Salut,

Je voudrai vous exposer un petit problème:

Soit :

En exploitant l'inégalité de Cauchy Schwartz et le fait que on peut montrer que

Puis toujours avec Cauchy Schwartz, mais cette fois en utilisant le produit scalaire canonique, on établit facilement que

Je m'intéresse maintenant aux matrices qui réalisent simultanément les 2 égalités, mais je n'arrive pas à généraliser.

En fouillant un peu dans le net, j'ai trouvé qu'une condition nécessaire était que .

Si vous avez des idées, je suis preneur.

Merci
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[invitebe08d051]

En fait, en revenant à mes équations, je trouve deux conditions:

Pour chaque ligne de la matrice , tous les coefficients sont égaux en valeur absolue.

Pour chaque ligne de la même matrice, la somme des coefficients vaut avec .

Pour n=2, il n'y a pas de solutions.

Mais, je n'arrive toujours pas à généraliser.

Par pur hasard , j'en ai trouvé une pour n=4:

[invite57a1e779]

Pour chaque ligne de la matrice , tous les coefficients sont égaux en valeur absolue.

Comme la matrice est orthogonale, cette condition impose, pour tout couple d'indices :

Pour chaque ligne de la même matrice, la somme des coefficients vaut avec .

Si, dans une ligne donnée, il y a éléments positifs, et éléments négatifs, la somme des éléments de cette ligne est alors : , et on en déduit que : est entier.

[invitea07f6506]

Sachant que si est impair, alors l'est aussi, et on ne peut pas trouver (sauf pour ) de matrice orthogonale sous ces contraintes. En effet, si l'on prend deux colonnes distinctes, alors le produit scalaire de ces deux colonnes est une somme d'un nombre impair de coefficients valant ou , et il ne peut être nul.

On retombe donc sur la condition ou .

Je suis sûr que des travaux ont dû être faits sur ces matrices, yaka les trouver... Plus facile à dire qu'à faire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Quelques idées par ici.

[invitea07f6506]

Message un peu trop long pour pouvoir éditer le précédent. Je viens de me souvenir que j'avais déjà vu apparaître ces bestioles-là : ce sont entre autres (et à facteur multiplicatif près) des matrices de Hadamard. Etant donné que l'on ne sait pas exactement pour quelles dimensions de telles matrices existent (conjecture : n=1,2 ou un multiple de 4), je crois qu'on est tombé sur un problème ouvert. Pour être plus précis, il semble que les matrices qui répondent aux conditions posées par Mimo13 sont, à constante près, les matrices de Hadamard régulières (en), pour lesquelles, à en croire Wikipédia, il existe une conjecture similaire (conjecture : n=1 ou un carré parfait pair).

Bref, problème ouvert. Désolé de ne pouvoir apporter de réponse plus précise.

Edit : sans surprise, God's Breath a trouvé avant.

[invitebe08d051]

Je verrai ça de plus près.

Merci pour vos réponses.