demi espaces fermé et convexes Rm

[invite4680bd1a]

Bonjour, dans mon cours d'optimsation linéaire, on marqué
Pour c=(c1 c2 ... c3) appartenant à M_1,m(R*), l'ensemble des points x appartenant à R^m tels que cx<=k (k appartient à l'ensemble des réels) est un demi espace fermé. C'est une partie convexe non bornée de R^m(exo)

Je ne comprend pas bien pourquoi en faite, Pouvez vous m'expliquer? Il y a t-il une preuve de celà?

Merci beaucoup
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[Amanuensis]

Quel aspect ne comprenez-vous pas ? Fermé ? Convexe ? Non borné ?

[invite4680bd1a]

J'ai bien compris ce qu'était une partie convexe.Je vos moins ce qu'est partie convexe non bornée et un Demi espace fermé en fait

Merci beaucoup de votre aide

[Amanuensis]

Non borné ne devrait pas poser de difficulté : faut trouver des éléments de norme aussi grande qu'on voudra.

Pour fermé, passer au complémentaire. Quel est le complémentaire ? Montrer qu'il est ouvert.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4680bd1a]

Oui mais je comprends pas quand même ce que la phrase veut dire.
9a veut dire que demi espace fermé implique partie convexe ??

[Amanuensis]

Non. Il me semble qu'on demande juste de montrer que c'est convexe, d'une part, et non bornée de l'autre. C'est indépendant l'un de l'autre, et aussi du fait que ce soit fermé.

[invite4680bd1a]

Pour convexe je prend 2 points x et y avec
cx<=k
cy<=k
et donc, en prenant 0<a<1 on a
a(cx)+(1-a)cy<=max(cxncy)<=k Donc en prenant deux points quelconques de l'ensemble des x appartenant à Rm tel que cx<=k, on a prouver que leur combinaison convexe(enfin je sais pas comment on dit) était toujours un point de cette ensemble. Cette ensemble est donc un convexe, non borné car de Rm


C'est ça une preuve pour partie convexe non borné?
merci encore

[Amanuensis]

C'est ça une preuve pour partie convexe non borné?

Convexe, oui. Non bornée, non.

Pour non bornée, faut montrer que la partie n'est pas incluse dans une boule ||x||<k, qu'elle contient des points aussi loin qu'on veut de l'origine (par exemple).